Cuando se $n$ $2n$ tanto en las sumas de dos cuadrados?

Question

Dado un número natural $n$, podemos caracterizar completamente al $n$ $2n$ son cada uno una suma de dos cuadrados?

Por ejemplo: $446,382,709=(13010)^{2}+(16647)^{2}$ $892,765,418=2(446,382,709)=(3637)^{2}+(29657)^{2}$

Hacer esto implica, tal vez, que 446,782,709 es la hipotenusa de un primitivo terna pitagórica?

(He encontrado esta pregunta en una hoja de papel, mientras que la limpieza de mi oficina. Resulta que un trivial algebraicas identidad resuelve la cuestión...más allá de Euler caracterización de cuando un número natural es la suma de dos cuadrados. Es la pregunta de trivial si reemplazamos $2n$ $3n$ arriba?)

EDIT: La modificación es trivial, demasiado. Este es mi culpa, como no pensé acerca de mi pregunta antes de publicarlo. (Este fue un problema que se encuentra en un trozo de papel en mi oficina. He publicado porque parecía un divertido problema para los estudiantes. Ciertamente no es este el mejor foro para este tipo de cosas!!!)

Answer 1

Natural es la suma de dos cuadrados si todos los primos de la forma $\rm\:4\:k+3$ se produce incluso en su descomposición en factores primos (iff lo mismo es cierto para $\rm\:2\:n\:$). Nota: $\rm\ n = x^2 + y^2\ \Rightarrow\ 2\:n = (x+y)^2 + (x-y)^2$ que surge por las composiciones de formas, o, en forma lineal, con la norma $\rm\ N(a+b\ i)\ =\ a^2 + b^2 $

$$\rm 2\ (x^2+y^2)\ =\ N(1+i)\ N(x-y\ i)\ =\ N((1+i)\ (x-y\ i))\ =\ N(x+y + (x-y)\ i) $$

Answer 2

$2(a^2 + b^2) = (a + b)^2 + (a - b)^2$. Y, por supuesto, la clasificación de los números, que son las sumas de dos cuadrados es bien conocido (es necesario y suficiente que si $p \equiv 3 \mod 4$, el mayor $k$ tal que $p^k | n$ es incluso).