La pregunta, dado el "valor desconocido", equivale a preguntar si es posible trisecar un ángulo general utilizando únicamente regla y compás.
Esto se conoce como el problema de trisección del ángulo uno de los tres problemas clásicos de la geometría griega, junto con el problema de la duplicar el cubo (dado un segmento de recta, construye utilizando sólo compás y regla un segundo segmento tal que el cubo con arista de longitud el segundo segmento tenga el doble de volumen que el cubo con arista de longitud el segmento de recta original) y la cuadratura del círculo (dado un segmento de recta, construir un segundo segmento de recta utilizando sólo regla y compás cuyo cuadrado tenga la misma área que un círculo con radio el segmento de recta original). El uso del "lápiz" está implícito en los enunciados.
Los tres problemas también se conocen como tres imposibilidades clásicas porque es imposible inventar una técnica semejante. Esto no significa que nadie haya sido capaz de encontrar una, sino que ha sido probado que no existen tales técnicas.
Abajo, cada vez que digo "construir", quiero decir "usando sólo lápiz, una regla y un compás". La regla te permite prolongar cualquier segmento de recta y construir un segmento de recta que pase por dos puntos dados; el compás te permite dibujar una circunferencia con centro en un punto dado y que pase por otro punto dado. Puedes determinar puntos intersectando cosas que puedes dibujar.
Piense en términos de coordenadas cartesianas, sitúe un punto en el plano que será el origen, y suponga que puede marcar una distancia de $1$ (es decir, construir un segmento de línea de longitud $1$ ). Si consideramos todos los segmentos de recta con un extremo en el origen que podemos construir, la colección de todos los números $(a,b)$ que son los otros punto final de estos "segmentos de línea construibles" forman lo que se llaman los "números construibles". Es fácil ver que si tienes dos números construibles, también puedes construir su suma, diferencia, producto y cociente, simplemente usando una regla. Un poco más difícil es demostrar que si tienes un número construible $a\gt 0$ también se puede hallar su raíz cuadrada $\sqrt{a}$ si utilizas también el compás (la idea es que el compás te permitirá construir una curva dada por una ecuación cuadrática, la regla te permitirá construir una curva dada por una ecuación lineal, y jugando una contra la otra puedes obtener raíces cuadradas). Luego puedes repetir este proceso y obtener aún más números construibles, y más, y más, utilizando estas operaciones (suma, resta, multiplicación, división y sacar raíces cuadradas de números no negativos ya obtenidos).
Resulta que estos son los sólo números que puedes construir utilizando regla y compás. Así, por ejemplo, no se puede construir el número $\sqrt[3]{2}$ porque no puede obtenerse de $0$ y $1$ mediante una secuencia de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces cuadradas (esto quizás no sea obvio, pero es cierto; tiene que ver con el hecho de que el polinomio con coeficientes racionales, grado mínimo y coeficiente principal $1$ que tiene $\sqrt[3]{2}$ como raíz es $x^3-2$ que es de grado $3$ si fuera construible, el polinomio más pequeño tendría que tener un grado de una potencia de $2$ ). Dado que esta es la longitud que necesitarías para duplicar el cubo si te dan un segmento de longitud $1$ que es construible, duplicar el cubo es en general imposible.
La cuadratura del círculo es igualmente imposible, porque si se le da un segmento de recta de longitud $1$ entonces tendrías que construir un segmento de línea de longitud $\sqrt{\pi}$ . Si pudieras, entonces también serías capaz de construir $\pi$ ; pero $\pi$ es un número trascendental (demostrado por von Lindermann en 1882), lo que significa que no puede construirse mediante los procesos descritos anteriormente.
Tratar la trisección del ángulo es un poco más complicado, pero no mucho. Si puedes construir un ángulo de $\alpha$ radianes, entonces se puede construir un triángulo rectángulo con ángulo $\alpha$ y con ese triángulo se puede construir un segmento de longitud $\cos(\alpha)$ . Por el contrario, si se puede construir un segmento de longitud $\cos(\alpha)$ y luego le trazas una perpendicular de longitud $\sqrt{1-\cos^2(\alpha)}$ (que se puede hacer), entonces se obtiene un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de $\alpha$ radianes.
Ahora bien, como podemos construir triángulos equiláteros utilizando regla y compás, y el ángulo interior de un triángulo equilátero es $\frac{\pi}{3}$ radianes, entonces el ángulo de $\frac{\pi}{3}$ es construible, así que alguien podría "darte" ese ángulo para trisecarlo. Para poder trisecar este ángulo, necesitas poder construir un ángulo de $\frac{\pi}{9}$ radianes (20 grados). Por lo tanto, si fuera posible trisecar el ángulo, se podría construir un segmento de recta de longitud $\cos(20^{\circ})=\beta$ . Sin embargo, utilizando la fórmula del triple ángulo $$\cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta)$$ tenemos que $4\beta^3 - 3\beta - \frac{1}{2} = 0$ (set $\theta=\frac{\pi}{9}$ en lo anterior), de modo que el polinomio con coeficientes enteros, de grado más pequeño, y coeficiente principal $1$ que tiene $\cos(20^{\circ})$ como raíz es $x^3 - \frac{3}{4}x - \frac{1}{8}$ . Al igual que con la duplicación del cubo, como el grado de este polinomio no es una potencia de $2$ las raíces no pueden construirse en absoluto.
Esto significa que ni siquiera se puede construir un ángulo de $20^{\circ}$ lo que significa que nunca se podrá trisecar un ángulo de $60^{\circ}$ en particular, no puede haber un método general para triseccionar un ángulo dado (ya que se puede un ángulo de $60^{\circ}$ pero ni siquiera se puede construir el ángulo de $20^{\circ}$ incluso conociendo que éste es el ángulo que debe construir). Por lo tanto, también es imposible trisecar el ángulo.
Si te permites otras herramientas, como una regla en lugar de una regla, entonces duplicar el cubo y trisecar el ángulo se convierte en posible; también es posible hacerlo con "origami" (doblando el papel que te dan de diferentes maneras). Pero si te limitas a las herramientas clásicas de regla y compás, no se puede hacer.
