Encuentra el valor de: $\mathbb{P}(X \leq Y)$ dada una función de densidad.

Question

Quiero saber $\mathbb{P}(X \leq Y)$ .

Me dieron: $$ f_{x,y}(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} 9xy^26x^3y^26xy^5+12x^3y^5 & 0 x 1, 0 y 1 \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{array} \right. $$

Lo encontré: $$ f_x(x) = \int_{0}^{1} f_x(x,y) dy = 2x $$

Así que mi idea inicial fue hacer lo siguiente: $$ \mathbb{P}(X \leq Y) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} f_x(x) dx dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} 2x dx dy = \int_{0}^{1} y^2 dy = \frac{1}{3} $$

Sin embargo, la solución de esta pregunta dice lo siguiente: $$ \mathbb{P}(X \leq Y) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} f_{x,y}(x,y) dx dy = \int_{0}^{1} 9y^4/2 -6y^6/4 - 6y^7/2 + 12y^9/4 dy = 0.6104 $$

Me preguntaba por qué mi planteamiento es erróneo y, sobre todo, por qué el otro es correcto.

Gracias por su ayuda.

V.

Answer 1

Porque sí: $$\begin{align}\mathsf P(X<Y) ~&=~ \int_{-\infty}^\infty f_Y(y)\,\mathsf P(X<y\mid Y=y) \operatorname d x \tag 1\\ &=~\int_{-\infty}^\infty f_Y(y) \int_{-\infty}^y f_{X\mid Y}(x\mid y) \operatorname d x \operatorname d y \tag 2 \\ &=~\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^y f_{X,Y}(x,y)\operatorname d x \operatorname d y \tag 3 \\ &=~\int_0^1\int_0^y \big(9xy^2−6x^3y^2−6xy^5+12x^3y^5\big)\operatorname d x \operatorname d y \tag 4 \end{align}$$