Si $b-a>1$ entonces hay un $k\in \mathbb{Z}$ tal que $a<k<b$

Question

Dado $a, b \in \mathbb{R}$ tal que $b-a>1$ hay al menos un $k\in \mathbb{Z}$ tal que $a<k<b$ .

Mi intento :

Considere $E:=(a,b)\cap \mathbb{N}$ . Tenemos que demostrar que $E$ no está vacío. Configure $b:=a+1+\varepsilon$ . Entonces $(a,b)=(a, a+1+\varepsilon)$ para algunos $\varepsilon > 0$ . Pero $(a, a+1+\varepsilon)$ contiene los elementos $a, a+1, a+1+\varepsilon$ y $a<a+1<a+1+\varepsilon$ . Establecer $k:=\min\{(a+1)\cap \mathbb{N}\ne \emptyset\}$ . Así $k$ existe.

Sé que esta prueba es cutre, pero no tengo ni idea de cómo desarrollar esto. Agradecería alguna pista.

Answer 1

SUGERENCIA: $E$ puede estar vacía: consideremos el caso $a=-3,b=-1$ . El resultado de tu demostración dependerá de lo que puedas suponer o de lo que ya hayas demostrado. La hipótesis implica que $a<b$ . Sea $A=\{n\in\Bbb Z:b\le n\}$ . Si se permite utilizar el hecho de que todo conjunto no vacío de enteros que está acotado por debajo tiene un elemento mínimo, sea $m=\min A$ y utilice $m$ para encontrar un número entero entre $a$ y $b$ .

Si no, tendrás que esforzarte un poco más. Deje que $A=\{n\in\Bbb N:|b|\le n\}$ y que $m=\min A$ . Puede utilizar este $m$ para encontrar un número entero entre $a$ y $b$ pero tendrá que considerar dos casos, uno para $b\ge 0$ y uno para $b<0$ .

Answer 2

Supongamos que $a<b$ ahora $A=ceil(a)$ es decir $A$ número entero más pequeño s.t. $A>=a$ . Entonces $A>=a$ por definición de $A$ . Tenemos que demostrar que $A<b$ . Supongamos que no, entonces, $A>b$ entonces $A-a>A-b+1>1$ . Es decir $A>a+1$ . Así que $A-1>a$ pero $A-1$ también es entero, lo que contradice la $A=ceil(a)$ supuesto anterior.

Answer 3

Depende de cuáles sean tus herramientas básicas.

La propiedad archimediana establece: Para cualquier real, $a$ existe un número entero $n$ tal que $n \le a < n + 1$ . Así que si $b - a > 1$ entonces $b > a+1$ y lo hemos hecho:

$n \le a < n + 1 \le a + 1 < b$ . Así que $k = n+1$ es un número entero que satisface.

Por supuesto tenemos que demostrar la propiedad archimediana...

Los reales tienen la propiedad del mínimo superior. Sea $S = \{n \in \mathbb Z| n \le a\}$ . S está limitado por encima por $a$ así que $n = \sup S \le a$ . Sea $1 > \epsilon > 0$ entonces $v - \epsilon$ no es un límite superior, por lo que existe un número entero $n \le v \le a$ . $n + 1> v$ es un número entero pero $n +1 > v = \sup S$ así que $n + 1 \not \in S$ así que $n + 1 > a$ . Así que $n \le a < n+1 $ .

Hmmm... Supongo que tenemos que probar $S$ no está vacío... suspiro...