¿Cómo hallar raíces de un álgebra de Lie a partir de raíces simples utilizando cadenas de raíces?

Question

Supongamos que te han dado las raíces simples de un álgebra de Lie. Cuando encuentre las raíces restantes, ¿necesita comprobar la cadena de raíces de todas las raíces a través de todas las demás raíces, sólo las raíces simples a través de las raíces simples, o sólo las raíces simples a través de todas las demás raíces?

Lo pregunto porque me han hecho la siguiente pregunta: "El álgebra de Lie de rango dos del grupo simple de 14 dimensiones $G_2$ tiene raíces simples $\alpha_1 = (1,0)$ y $\alpha_2=(-3,\sqrt3 )/2 $ (en una base cartesiana). Utiliza la siguiente información para dibujar el sistema de raíces de $G_2$ ."

Me parece que la longitud de la cadena de $\alpha_1$ a través de $\alpha_2$ sea 4, por lo tanto $\alpha_2, \alpha_1 + \alpha_2, 2\alpha_1+\alpha_2$ y $ 3\alpha_1+\alpha_2$ son raíces. Entonces la longitud de la cadena de $\alpha_2$ a través de $\alpha_1$ sea 2, lo que no produce nuevas raíces. Entonces compruebo $\alpha_1$ a través de $ 3\alpha_1+\alpha_2$ lo que da 2. Por lo tanto una nueva raíz. Pero $ 3\alpha_1+\alpha_2$ a través de $\alpha_1$ es de longitud 2 y, por tanto, también da una nueva raíz. Esto me da siete raíces en total, y Wikipedia me dice que sólo hay 6 raíces positivas en total. ¿Qué he hecho mal?

Agradecemos cualquier ayuda.

Answer 1

Haz un dibujo

Empezaste bien - el $\alpha_1$ -cadena mediante $\alpha_2$ da las 4 raíces positivas enumeradas. Pero entonces es automáticamente inútil intentar $\alpha_1$ -cadenas a través de cualquiera de esas raíces - serán automáticamente subcadenas de esta cadena. Por ejemplo $\alpha_1$ -cadena a través de $3\alpha_1+\alpha_2$ da la misma cadena en orden inverso. En $\alpha_2$ -cadena a través de $3\alpha_1+\alpha_2$ te da una raíz positiva más, a saber $3\alpha_1+2\alpha_2$ . Puede que fuera una errata y quisieras decir $\alpha_2$ ?

El último paso no lo entiendo en absoluto. El $(3\alpha_1+\alpha_2)$ -cadena a través de $\alpha_1$ no da nuevas raíces positivas. Las raíces en esa cadena son $\alpha_1$ y $-2\alpha_1-\alpha_2$ y descartamos aquí las raíces negativas.

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Se obtienen todas las raíces considerando $\alpha$ -a través de las raíces positivas generadas anteriormente, donde $\alpha$ recorre el conjunto de raíces simples. Tienes que aplicarlo de forma recursiva.