He oído mucho acerca de la Criptografía de Curva Elíptica en estos días, pero todavía no estoy muy seguro de lo que son o cómo se relacionan con crypto...
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Aquí es super bonita en powerpoint sobre el tema!
http://www.math.brown.edu/~jhs/Presentaciones/WyomingEllipticCurve.pdf
Judah Himango
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La definición técnica es un nonsingular curva proyectiva de género 1, que es una abelian variedad bajo la ley: basially, esto significa que usted trace la línea a través de dos puntos de la curva, que puede ser incrustado en el plano proyectivo-y donde encontrar esa línea se cruza con la curva de nuevo (y de la llamada que el negativo de la suma).
Siempre podemos poner curvas elípticas en la (projectivization de los) formulario de $y^2 = x^3 - Ax + B$.
Así, el significado de "abelian variedad" es que usted puede agregar puntos de la curva elíptica, que es realmente útil; no existe una manera de hacer esto para la mayoría de los objetos de la geometría algebraica. Entonces uno puede estudiar cosas como la torsión de los puntos de una curva elíptica, con respecto a este grupo abelian estructura: es un teorema que hay $m^2$ de torsión de los puntos del orden $m$ por ejemplo, si estás trabajando en un algebraicamente cerrado de campo.
De hecho, una manera de pensar en esto es que una curva elíptica es realmente--algebraicamente y topológicamente--un toro si usted está trabajando a través de los números complejos, y la torsión de los puntos en los que el toro se puede determinar fácilmente. (Es decir, un toro es algebraicamente el producto de dos copias de la unidad de círculo).
Esto también da el teorema acerca de torsión puntos para algebraicamente cerrado campos de característica cero a través de la "Lefschetz principio." (Para la característica p, usted necesita un argumento diferente.)
Otras cosas que uno puede considerar la posibilidad de incluir el grupo de puntos con coordenadas en, digamos, los números racionales (suponiendo que la curva está definida por los coeficientes racionales). Uno de los principales teoremas es que este grupo es finitely generado. El punto es que la geometría de la curva elíptica conduce a una rica estructura algebraica.
Eso es un poco sobre curvas elípticas; yo no sé nada acerca de la criptografía y no puedo comentar sobre eso.
