La desigualdad asintótica para las normas de los procesos en $l_{2}$

Question

Sea $X_{n}$ y $Y_{n}$ son las secuencias ajustadas de elementos aleatorios que toman valores del espacio $l_{2}$ (secuencias cuadradas sumables) definidas en el mismo espacio de probabilidad, y supongamos que $$ X_{n}\stackrel{d}{\to}X $$ Sea $X^{(k)}_{n}$ denotan la primera $k$ elementos del vector $X_{n}$

A continuación, considere el siguiente suceso $$ A^{(k)}_{n} = \{||Y^{(k)}_{n}||_{2} \leq ||X^{(k)}_{n}||_{2} \} $$ y que $$ P(\underset{n\to\infty}{\limsup} A^{(k)}_{n}) = 1 $$ para cualquier $k \leq \infty$ .

La pregunta: ¿es correcto lo siguiente? $$ P(\underset{n\to\infty}{\limsup} \{||Y_{n}||_{2} \leq ||X_{n}||_{2} \}) = 1 $$ ?

Answer 1

No, aparentemente, no es correcto. Deje que $X_{n}$ sean vectores con primer $n$ iguales a cero y el resto (a partir del índice $n$ ) posiblemente no lo sean. A continuación, dejemos que $Y_{n}$ sean vectores nulos. Entonces, obviamente, para $n > k$ tenemos $$ ||Y^{(k)}_{n}||_{2} \leq ||X^{(k)}_{n}||_{2} $$ pero para todo el vector no podemos encontrar $n'$ tal que $$ ||Y_{n}||_{2} \leq ||X_{n}||_{2} $$ para $n>n'$ .