Demuestra que W es un subespacio y halla su conjunto de expansión

Question

Sea V el espacio de $2x2$ matrices. Sea $W=\{X\in V | AX=XA\}$ y $A= \begin{bmatrix} 1 & -2\\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

Demostrar que $W$ es un subespacio y demostrar que es spanning set.

Mi intento:

Demostré que W es un subconjunto de V y es un espacio demostrando que es un grupo abeliano bajo adición de matrices y demostré que se cumplen los supuestos de la multiplicación escalar.

¿Cómo puedo mostrar el conjunto spanning? ¿Por dónde empezar?

Answer 1

Si $X=\begin{pmatrix}x_1 &x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix} $ y $AX=XA$ entonces

$$\begin{pmatrix} x_1-2x_3 & x_2-2x_4\\ 3x_3 & 3x_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1 & -2x_1+3x_2 \\ x_3 & -2x_3+3x_2 \end{pmatrix}$$

Así que $$\left\lbrace \begin{array}{ll} x_3=0 & \ \\ x_2-x_1+x_4=0 & \ \end{array} \right.$$

Por lo tanto $$\begin{split}\lbrace X: AX=XA\rbrace &=\left\{ \begin{pmatrix} x_1&x_2\\x_3&x_4 \end{pmatrix}:x_3=0, x_4=x_1-x_2\right\}\\{}\\ &=x_1e_1+x_2e_2+(x_1-x_2)e_4\end{split}$$