Los campos cuánticos se presentan como operadores-valores distribuciones para que el operadores en la teoría son funcionales lineales de algún espacio de funciones de prueba. Esto funciona bien para campos libres, dándonos una forma particular para VEVs, en la que la función de correlación conectada de 2 puntos determina toda la teoría, y una matriz S trivial.
Sin embargo, para los campos que interactúan, los VEV y las estadísticas de los observables de la matriz S que predice la teoría dependen no sólo de las funciones de prueba (generalmente dadas para la matriz S en términos de modos puros de número de onda impropio del campo libre en $t=\pm\infty$ ), sino también en la "escala energética de las mediciones". Se obtiene una forma funcional diferente a escalas de energía diferentes.
Las escalas de energía a las que se mide ya están codificadas en los números de onda asociados a las funciones de prueba, por lo que parece que las funciones de prueba desempeñan una función adicional, la de determinar la forma funcional de los VEV (al menos en su forma de matriz S), tanto al difuminar linealmente el campo cuántico como, de forma más indirecta, al determinar la escala de renormalización. Como consecuencia, los VEVs, las funciones de Wightman, parecen claramente ser funcionales no lineales de las funciones de prueba para QFTs interactuantes.
Esto me preocupa desde hace tiempo. El argumento, tal como está planteado, pone en cuestión la insistencia de los axiomas de Wightman en que un campo cuántico debe ser un mapa lineal desde el espacio de funciones de prueba al espacio de operadores, aunque supongo que el efecto sólo sería logarítmico en alguna medida de las frecuencias de las funciones de prueba. El axioma de aditividad de Haag-Kastler también parece problemático. No tengo conocimiento de que se haya discutido en la literatura el debilitamiento de este aspecto particular de los axiomas de Wightman o Haag-Kastler para poder construir modelos de los axiomas que sean paralelos a la QFT empíricamente exitosa, pero ¿lo han hecho?
[Nótese que la eliminación de la linealidad del mapa de funciones de prueba a operadores en el álgebra de observables no afecta a la linealidad del álgebra. Sigue habiendo una interpretación probabilística perfectamente buena de un estado sobre una *álgebra y un espacio de Hilbert perfectamente bueno, pero la relación de las medidas con el espacio-tiempo se modifica un poco].
EDITAR: Voy a intente para hacer la Pregunta un poco más accesible. Resulta que lo que sigue la alarga considerablemente. Las funciones de Wightman (en realidad un nombre diferente para los Valores de Expectativa del Vacío (VEV)) permiten reconstruir un campo (cuántico) de Wightman. Es decir, dado el estado de vacío sobre el álgebra se pueden construir las funciones de Wightman, $$W(x_1,x_2,...x_n)=\left<0\right|\hat\phi(x_1)\hat\phi(x_2)...\hat\phi(x_n)\left|0\right>,$$ pero además, dadas las funciones de Wightman se puede construir el álgebra. Las funciones de Wightman satisfacen relaciones un tanto arcanas, de modo que cualquier función $VV(x_1,x_2,...,x_n)$ casi seguro que no es una función de Wightman y no puede utilizarse para reconstruir un campo de Wightman.
El objeto $\hat\phi(x)$ no es un operador en el álgebra de observables, es un distribución operador-valor de modo que si tenemos una "función de prueba" que se comporta bien $f(x)$ donde "bien comportado" suele significar que es suave (infinitamente diferenciable) y tiene una transformada de Fourier suave, entonces $\hat\phi_f=\int\hat\phi(x)f(x)\mathrm{d}^4x$ es un operador. Esto se llama a menudo "manchar" con la función de prueba $f(x)$ . La función de prueba $f(x)$ nos dice efectivamente qué amplificación relativa aplicamos al campo en cada punto del espacio-tiempo para una medida dada, y su transformada de fourier $\tilde f(k)$ nos dice qué amplificación relativa aplicamos al campo en cada punto del espacio de momento. En análisis de señales, el mismo objeto se denomina "función ventana", que puede consultarse en Wikipedia. Se puede hablar del ancho de banda de una medida, o decir que una transformación de señal es de paso alto o paso bajo. Si no fuera por la no conmutatividad de los operadores de medida en la separación temporal, la teoría cuántica de campos sería exactamente lo que uno desearía para un formalismo matemático de modelización del procesamiento estocástico de señales. Si sólo se habla de medidas separadas en el espacio -lo cual es una restricción muy estricta-, la QFT es un formalismo estocástico de tratamiento de señales.
A diferencia de $\hat\phi(x)$ , $\hat\phi_f$ no es un objeto matemático singular; la diferencia es comparable a la que existe entre una función suave y la función delta de Dirac. En términos de estos operadores, las funciones de Wightman se convierten en $$W(f_1,f_2,...,f_n)=\left<0\right|\hat\phi_{f_1}\hat\phi_{f_2}...\hat\phi_{f_n}\left|0\right>,$$ que es lineal en todas las funciones de prueba. Sin embargo, cuando pasamos a los formalismos prácticos de la QFT interactiva, los VEV predichos por la teoría desnuda son infinitos. La renormalización corrige esto de una manera invariante de Lorentz, pero deja los VEV en función de la escala de energía $\mu$ de las mediciones que intervienen en un experimento. Así pues, las funciones de Wightman son ahora una función de $\mu$ así como de los puntos $x_i$ , $W_\mu(x_1,x_2,...x_n)$ o, en términos de operadores, $W_\mu(f_1,f_2,...f_n)$ . [Quizá valga la pena señalar que no sabemos si estos $W_\mu(...)$ satisfacen las relaciones requeridas para que sean funciones de Wightman, de modo que podríamos reconstruir un campo de Wightman, pero nunca he visto una discusión de QFT perturbativa conducida en tales términos]. Las funciones de Wightman en términos de posiciones no codifican escalas de energía, pero son no observables, sólo son una plantilla para construir observables. Las transformadas de Fourier de las funciones de prueba, $\tilde f_i(k)$ sin embargo, ya determinan varias escalas de energía a las que operan las mediciones realizadas en un experimento, potencialmente en mucho más detalles que un solo número $\mu$ . Podríamos decir que la escala de energía de las mediciones $\mu$ es independiente de las escalas de energía determinadas por las funciones de prueba $f_i$ pero parece más natural a mí decir que $\mu$ es un funcional de las funciones de prueba $f_i$ en cuyo caso podemos escribir $W'(f_1,f_2,...f_n)=W_\mu(f_1,f_2,...f_n)$ donde $W'$ es ahora una función no lineal del $f_i$ . Supongo que esperamos $W'$ sea una función simétrica de cada una de las $f_i$ .
Para un ejemplo más o menos trivial, supongamos que tenemos dos campos de Klein-Gordon cuantizados ordinarios $\hat\phi_f$ y $\hat\xi_f$ que no necesariamente tienen el mismo espectro de masas, entonces podríamos construir un campo cuántico $\hat\Phi_f=\hat\phi_f+\hat\xi_{f+\epsilon f^2}$ (donde el cuadrado $f^2$ es $[f^2](x)=[f(x)]^2$ de modo que $\hat\Phi_f$ satisface la microcausalidad), de modo que $\hat\Phi:\mathcal{S}\rightarrow\mathcal{A};\hat\Phi:f\mapsto\hat\Phi_f$ es un mapa no lineal del espacio de funciones de prueba al álgebra de observables. Sigue siendo un campo gaussiano, por lo que no interactúa. Ya empieza a haber complicaciones significativas. Uno de los axiomas más fundamentales de Wightman es la restricción al espectro positivo, que en términos de funciones de prueba es una proyección a componentes del cono de luz de las funciones de prueba. Sólo las componentes de $\tilde f(k)$ para lo cual $k_\alpha$ está en el cono de luz delantero tenga algún efecto sobre los resultados de la medición. Sin embargo, en el caso anterior, los componentes del cono de luz delantero de $f^2(x)$ contribuyen, que en el espacio de fourier, donde $f^2(x)$ es una convolución, significa que los componentes de frecuencia negativos de $f(x)$ contribuirá. Aunque esto significa que este tipo de no linealidad aparentemente no satisface la positividad de la energía, no está claro que esto signifique que tal sistema no sea estable que es la razón (no axiomática) por la que insistimos en la positividad de la energía como axioma. Lo cual pone en tela de juicio la positividad de la energía, uno de los gran axiomas, sobre los que pregunté aquí .
Ahora, por supuesto, estoy probando a investigar aquí como si fuera una pizarra virtual. Muchas de las ideas anteriores deberían borrarse, probar ideas diferentes y descartarlas con igual o mayor vigor. Tengo muchos trozos de papel con ideas descartadas que no querrás ver, porque espero que tú también tengas tus propias ideas descartadas, como debería tenerlas cualquiera que no sea demasiado inamovible, la mayoría de las cuales probablemente yo no quiera ver (no es que no sea un poco inamovible, pero he descartado ). algunos ideas). El problema es que no veo cómo podemos seguir adelante si yo me limito a teclear, creo que el bucle de retroalimentación puede ser demasiado largo para que esto funcione. Aun así, la alternativa es escribir un artículo y recibir comentarios seis meses después. Esto introduce Cuestiones que puedo tratar de poner en meta.
Por cierto, hacer una Pregunta Favorita no cuenta para Reps, pero se agradece mucho.
