Mínimo de una función en $(0,1) \times (0,+\infty)$

Question

Me gustaría minimizar la función $$ (\alpha,\theta) \mapsto F(\alpha,\theta) := -\theta x^\alpha + \sum_{k=1}^N \ln(1+p_k(e^{\theta \ell_k^\alpha}-1)) $$ donde $\theta \in (0,+\infty)$ , $\alpha \in (0,1)$ y los parámetros son tales que $p_k,x,\ell_k \in (0,1)$ con $\sum_{k=1}^N \ell_k = 1$ .

Tomé las derivadas parciales con respecto a $\alpha$ y $\theta$ y obtuve $$ \partial F/\partial \theta = -x^\alpha + \sum_{k=1}^N \ell_k^\alpha \frac{p_ke^{\theta \ell_k^\alpha}}{1+p_k(e^{\theta \ell_k^\alpha}-1)} $$ $$ \partial F/\partial \alpha = -\theta \ln(x) x^\alpha + \theta \sum_{k=1}^N \ell_k^\alpha \ln(\ell_k) \frac{p_k e^{\theta \ell_k^\alpha}}{1+p_k(e^{\theta \ell_k^\alpha}-1)} $$ pero estoy atascado en tratar de encontrar un par $(\alpha^*,\theta^*)$ que los hace nulos.

¿Puedo decir algo sobre el mínimo de $F$ (si existe)?

Answer 1

Se intenta minimizar una función en un conjunto abierto, por lo que no hay garantía de que dicho mínimo exista realmente.

Buscar el cero del gradiente es una condición necesaria, pero no necesariamente suficiente ya que tu función F no es convexa. De hecho, este punto también puede ser un máximo local o un punto de silla de montar.

Ahora, buscando puntos que satisfagan esta condición necesaria, se pueden simplificar las expresiones considerando que la primera ecuación da $$\partial F/\partial \theta=0 \rightarrow x^{\alpha}=\sum_{k=1}^N l_k^{\alpha} \frac{p_k e^{\theta l_k^{\alpha}}}{1+p_k(e^{\theta l_k^{\alpha}}-1)}$$ utilizando esto en la segunda ecuación se llega a $$ \partial F/\partial \theta=0 \rightarrow 0=-\theta \ln(x) \sum_{k=1}^N l_k^{\alpha} \frac{p_k e^{\theta l_k^{\alpha}}}{1+p_k(e^{\theta l_k^{\alpha}}-1)}+\theta \sum_{k=1}^N l_k^{\alpha} \ln(l_k) \frac{p_k e^{\theta l_k^{\alpha}}}{1+p_k(e^{\theta l_k^{\alpha}}-1)} $$ simplificando y teniendo en cuenta que $\theta>0$ $$ 0= \sum_{k=1}^N l_k^{\alpha} (\ln(l_k)-\ln(x)) \frac{p_k e^{\theta l_k^{\alpha}}}{1+p_k(e^{\theta l_k^{\alpha}}-1)} $$ y ahora los resultados dependen en gran medida del $l_k$ .