$R$ anillo conmutativo que tiene un nilpotente distinto de cero, entonces $R^{\times}\subsetneq (R[X])^{\times}$

Question

Sea $R$ sea un anillo conmutativo. También existe $a\in R$ , $a\ne 0$ tal que $a^n=0$ . Entonces $R^{\times}\subsetneq(R[X])^{\times}$ por lo que hay un elemento en $(R[X])^{\times}$ que no figura en $R^{\times}$

Me cuesta encontrar un elemento de este tipo en $(R[X])^{\times}$ que no figura en $R^{\times}$ .

Cualquier ¿consejos? Gracias :)

Answer 1

Considere $1+ax$ . Para más información, véase el capítulo 1, ejercicios 1-2, de Introducción al álgebra conmutativa por Atiyah y Macdonald .

Answer 2

EDIT: Si sólo quieres una pista sólo lee las dos líneas siguientes.

Consideremos la identidad general

$$A^n - B^n = (A-B)(A^{n-1}+ A ^{n-2}B + ...+AB^{n-2}+B^{n-1})$$

que se cumple en cualquier álgebra conmutativa. Sea ahora $A=1$ y $B=aX$ donde $a^n = 0$ en $R$ . Desde $(aX)^n = a^n X^n = 0$ tenemos

$$ 1 = 1-0 = 1^n - (aX)^n = (1-aX)(1+aX+a^2X^2+...+a^{n-1}X^{n-1}).$$

Esto demuestra $1-aX \in R[X]^\times$ Así que $R[X]^\times$ tiene elementos que no están en $R^\times$ .