Sea $f$ sea una función de valor real sobre $[1,\infty)$ tal que $f(1) = 3.$
Si $\displaystyle 2 \int_{2}^xf(t)\,dt = xf(x) + x^3$ $\forall x \ge 1$ entonces encuentra $f(2).$
Este es mi enfoque puesto $x =2$ para obtener
\begin{align*} 2f(2)+ 8 &= 0\\ f(2) &= -4. \end{align*}
Pero si diferencio ambos lados obtengo
\begin{align*} 2f(x) &= f(x) + xf'(x) + 3x^2\\ xf'(x) - f(x) &= -3x^2. \end{align*}
Resolviendo esto se obtiene $f(x) = -3x^2 + cx.$ Utilizando la condición inicial obtengo
$$f(x) = -3x^2 + 6x$$ o $$f(2) = 0.$$
Por diferentes métodos estoy obteniendo diferentes valores de $f(2).$ ¿Puede alguien decirme cuál es la correcta y por qué?
Gracias, señor.
