Cadenas de Markov - Comprender la prueba de que si x e y se comunican, si x es recurrente, entonces y también debe ser recurrente.

Question

Estoy tratando de entender la prueba de que si dos estados que se comunican, entonces si un estado es recurrente el otro también debe ser recurrente.

El libro que estoy mirando tiene esta prueba:

Supongamos que $x$ es recurrente, y que $y$ se comunica con $x$ . Por lo tanto, existen enteros $k,l \geq 1$ tal que $p_k(x,y)>0$ y $p_l(y,x)>0$ .

Por Chapman-Kolmogorov, $p_{k+n+l}(y,y)\geq p_{l}(y,x)p_{n}(x,x)p_{k}(x,y)$

Ésa es mi primera pregunta: ¿cómo se deduce lo anterior de las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov?

La prueba continúa: así que por la recurrencia de x y un teorema anterior que establece que el estado $x$ es recurrente si y sólo si el número esperado de visitas a $x$ es infinito, $\sum ^\infty _{n=0}p_n(y,y) \geq p_{l} (y,x)p_{k}(x,y)\sum^\infty _{n=0}p_n(x,x)=\infty$

Mi segunda pregunta es - ¿qué nos permite pasar de la desigualdad anterior a esas sumas (especialmente la primera suma donde vamos de $p_{k+n+l}(y,y)$ a $\sum^\infty _{n=0}p_n(y,y)$

Gracias, señor.

Answer 1

En relación con $p_{k+n+l}(y,y) \ge p_l(y,x) p_n(x,x) p_k(x,y)$ puede explicarse intuitivamente de la siguiente manera:

• El lado izquierdo es la probabilidad de empezar en $y$ y después $k+n+l$ escalones aterrizando en $y$ otra vez.
• El lado derecho es la probabilidad de empezar en $y$ y después $l$ escalones aterrizando en $x$ y después $n$ más pasos aterrizando en $x$ de nuevo, y después $k$ más pasos aterrizando en $y$ .
• Los caminos considerados por el lado derecho van cada uno de $y$ a $y$ en $l+n+k$ pasos, pero hay muchas otras formas de hacerlo, por lo que la probabilidad del lado derecho es menor.

Más sucintamente, \begin{align} &P(\text{go from $y$ to $y$ in $k+n+l$ steps}) \\ &= \sum_{a,b} P(\text{go from $y$ to $a$ in $k$ steps, then to $b$ in $n$ steps, then to $y$ in $l$ steps}) \\ &\ge P(\text{go from $y$ to $x$ in $k$ steps, then to $x$ in $n$ steps, then to $y$ in $l$ steps}). \end{align}

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Para la segunda pregunta, $$\sum_{j=0}^\infty p_j(y,y) \ge \sum_{j=l+k}^\infty p_j(y,y) \ge p_l(y,x) p_k(x,y) \sum_{n=0}^\infty p_n(x,x),$$ donde el último paso consiste en escribir $j=l+n+k$ .