Cálculo del Pull-Back de un $1$ -forma.

Question

Estoy estudiando Formas Diferenciales por primera vez. Estoy atascado en un problema que parece sencillo.

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La definición de mi libro. Sea $f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$ sea una función diferenciable. Entonces $f$ inducir una aplicación $f^{*}$ ese mapa $k$ -forma en $k$ -formas.

Sea $\omega$ a $k$ -formar en $\mathbb{R}^{m}$ . Por definición, $f^{\ast}\omega$ es un $k$ -formar en $\mathbb{R}^{n}$ g $$(f^{*}\omega)(p)(v_{1},...,v_{k}) = \omega(f(p))(df_{p}(v_{1}),...,df_{p}(v_{k}))\tag{1}$$ donde $p \in \mathbb{R}^{n}$ , $v_{1},...,v_{k} \in T_{p}\mathbb{R}^{n}$ y $df_{p}: T_{p}\mathbb{R}^{n} \to T_{f(p)}\mathbb{R}^{n}$ es la aplicación diferencial de $f$ .

Toma, $T_{p}$ es el plano tangente a $p$ .

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A continuación, el libro ofrece un ejemplo.

Ejemplo. Sea $\omega$ a $1$ -formar en $\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}$ g $$\omega = -\frac{y}{x^2+y^2}dx + \frac{x}{x^2+y^2}dy.$$ Sea $U = \{(r,\theta) \mid r>0,0<\theta<2\pi\}$ y $f:U \to \mathbb{R}^{2}$ g $$f(r,\theta) = \begin{cases} x = r\cos\theta\\ y = r\sin\theta \end{cases}.$$

Calculemos $f^{*}\omega$ .

S $$dx = \cos\theta dr - r\sin\theta d\theta,$$ $$dy = \sin\theta dr + r\cos\theta d\theta,$$ w $$f^{*}\omega = -\frac{r\sin\theta}{r^{2}}(\cos\theta dr - r\sin\theta d\theta) + \frac{r\cos\theta}{r^{2}}(\sin\theta dr + r\cos\theta d\theta) = d\theta.$$

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Creo que no he entendido bien la definición.

Utilizando (1), $$\omega(f(r,\theta)) = -\frac{r\sin\theta}{r^{2}}(\cos\theta dr - r\sin\theta d\theta) + \frac{r\cos\theta}{r^{2}}(\sin\theta dr + r\cos\theta d\theta)$$

Pero, ¿qué pasa con $df_{(r,\theta)}(v)$ con $v \in T_{(r,\theta)}U$ ?

Answer 1

A $1$ -pertenece al espacio dual del espacio tangente (en un punto $p\in U$ ), es decir $(T_{p}U)^{\ast}$ . Por lo tanto, sus elementos (los $1$ -) son mapas lineales $\omega_{p}: T_{p}U \rightarrow \mathbf{R}$ que varían suavemente para obtener una familia de $1$ -forma $\omega:TU \rightarrow \mathbf{R}$ (es decir, acabo de soltar el $p$ subíndice). Para ser explícitos, para algún vector tangente $v\in T_{p}U$ tenemos que $\omega_{p}(v) \in \mathbf{R}$ o también cuando se varía el punto para obtener un campo vectorial $V\in TU$ , $\omega(V)\in \mathbf{R}$ .

Dado ahora un mapa suave $f:U\rightarrow V$ su diferencial en un punto $p\in U$ es un mapa lineal $d_{p}f:T_{p}U\rightarrow T_{f(p)}V$ que cuando se varía el punto $p$ suele escribirse como $f_{\ast}$ (llamado pushforward de $f$ ). Esto a su vez induce un mapa dual $f^{\ast}:(TV)^{\ast} \rightarrow (TU)^{\ast}$ definida del siguiente modo: para a $1$ -forma $\alpha\in (T_{f(p)}V)^{\ast}$ obtenemos un nuevo $1$ -forma $f^{\ast}\alpha \in (T_{p}U)^{\ast}$ por precomposición, es decir, que $v\in T_{p}U$ entonces $$ f^{\ast}\alpha(v)|_{p} = (\alpha \circ f_{\ast})(v)|_{p} = (\alpha \circ d_{p}f)(v)|_{p} = \alpha(d_{p}f(v))|_{f(p)} $$ donde $(\alpha\circ d_{p}f)$ es ''en $p$ '' ya que $v\in T_{p}U$ Sin embargo $\alpha$ es ''en $f(p)$ '' porque ahora $d_{p}f(v)$ pertenece a $T_{f(p)}V$ . Esta construcción puede ampliarse a $k$ -formas.

Para responder a su pregunta, $df_{(r,\theta)}(v)$ para $v\in T_{(r,\theta)}U$ aún no ha aparecido desde el $k$ -form no se evalúa en ningún vector (de lo contrario, sólo obtendría un número real). La dirección $\omega(f(p))$ parte de $\omega(f(p))(d_{p}f(v_{1}),\ldots d_{p}f(v_{k}))$ sólo significa que su $k$ -la forma está en el punto $f(p)$ y que ningún vector es devorado por ella. En mi notación anterior sería $\omega|_{f(p)}$ así que distingue entre ser un argumento de la forma diferencial y referirse al punto al que está asociado. Disculpa si te parece una respuesta un poco larga; gran parte de la teoría introductoria de las formas diferenciales consiste en desentrañar definiciones y recordar en qué espacios viven las cosas.

Answer 2

(1) $f^{*}(\omega \wedge \varphi) = f^{*}(\omega)\wedge f^{*}(\varphi)$

(2) $f^{*}(\omega + \varphi) = f^{*}(\omega) + f^{*}(\varphi)$

(3) $f^{*}(\omega) = \omega\circ f$ si $\omega$ es un $0$ -forma

(4) $f^{*}dx = df_{1}$ y $f^{*}dy = df_{2}$

Así que pensando en $-\frac{x}{x^2+y^2}$ y $\frac{y}{x^2+y^2}$ como $0$ -tenemos

$$\begin{eqnarray*} f^{*}\omega &=& f^{*}\left(-\frac{x}{x^2+y^2}dx + \frac{y}{x^2+y^2}dy\right)\\ & =& -\left(\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)\circ f\right)f^{*}dx + \left(\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)\circ f\right)f^{*}dy\\ & =& -\left(\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)\circ f\right)df_{1} + \left(\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)\circ f\right)df_{2}. \end{eqnarray*}$$