Convergencia de la secuencia de variables aleatorias

Question

$X$ es el número de cabezas que obtenemos después de lanzar $n$ monedas justas.

Mi pregunta es: $P(X< \frac{n}{2}+\sqrt{n})$ si $n \to \infty$ ?

He intentado aplicar CLT de esta manera:

$P(\frac{X-\frac{n}{2}}{\frac{\sqrt{n}\sqrt{n(2n-1)}}{2}}<\frac{2}{\sqrt{n(2n-1)}})\to \phi(\frac{2}{\sqrt{n(2n-1)}})$ como $n \to \infty$ . Lo que arroja $1/2$ a esta probabilidad.

No estoy nada seguro de que lo que estaba haciendo fuera correcto, ¡ayuda, por favor! Gracias

Answer 1

$X_n$ es un Binomio $(n, p=1/2)$ variable aleatoria, la suma de $n$ Bernoullis independiente, con $E(X_n) = n/2, \text{Var}(X_n) = n/4$ . Así que el pivote

$$Z_n = \frac {X_n - n/2}{\sqrt {n/4}}\xrightarrow{d} N(0,1)$$

por el CLT. Por lo tanto,

$$\Pr\left(X_n \leq \frac n2 + \sqrt n\right) = \Pr\left(\frac {X_n - n/2}{\sqrt {n/4}}\leq \frac {\sqrt n}{\sqrt{n/4}}\right)$$

$$=\Pr\left(\frac {X_n - n/2}{\sqrt {n/4}}\leq 2\right)\rightarrow \Phi(2)$$

donde $\Phi()$ es la FDA normal estándar. Luego buscamos en las tablas.