Por qué la existencia de la serie de Taylor no implica que cubra a la función original

Question

Por favor, tenga en cuenta que he leído esto pregunta y no se dirigió a la mía.

Me han presentado el siguiente argumento sobre la serie Taylor:

Tenemos una función $f(x)$ Ahora supongamos que existe una serie de potencias que es igual a ella:

$$f(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 +\dots$$

Se puede demostrar rápidamente, utilizando la diferenciación, que

$$f(x) =f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2! }x^2 +\dots$$

Parece que este argumento implica dos cosas:

1. Para que la serie de Taylor alrededor de un punto exista, tiene que ser continuamente diferenciable (infinitas veces) y definida en ese punto.

2. Si la serie de Taylor para una función existe, entonces esto implica que es igual a ella, o que converge a la función original en cada punto $x$ .

Ahora sé muy bien que el punto 2 es falso (no toda función suave es analítica).

Pero el punto 2 parece estar implícito en el argumento que presenté anteriormente y que supone que si existe una serie de potencias tal que es igual a la función o, en otras palabras, converge a la función para todo $x$ , entonces estará dada por la serie de Taylor. Entonces, ¿qué hay de malo en este argumento anterior?

Answer 1

Ahora supongamos que existe una serie de potencias que es igual a ella:

Aquí es donde radica el problema. Si una función es expresable por una serie de potencias en un punto, entonces esa serie de potencias es la serie de Taylor. Pero no todas las funciones son expresables de este modo.

Answer 2

Usted confunde las dos condiciones siguientes:

1. La función $f$ admite una serie de Taylor en (argumento) $0$ y

2. Existe una serie de potencias $\sum_ia_ix^i$ que converge a $f(x)$ para todos $x$ (en el ámbito de $f$ ).

Mientras que la segunda condición implica la primera (y la serie de Taylor será entonces que $\sum_ia_ix^i$ ), la primera afirmación no implica la segunda. Sólo significa que $f$ es suave (indefinidamente diferenciable) en la vecindad de $~0$ (a saber: sus derivados repetidos en $~0$ definirá la serie de Taylor). Esto es lo que parece reconocer el primer punto enumerado en tu pregunta. Pero no se puede pasar de ahí a la segunda afirmación, y el hecho de que la segunda implique a la primera no ayuda a hacerlo.

El sólo La relación necesaria entre una función y su serie de Taylor es que esas derivadas y los coeficientes de la serie coincidan. Para un valor dado $x\neq0$ la serie de Taylor puede converger o no, pero incluso si lo hace, esto no da (necesariamente) $f(x)$ . Para ver por qué no, basta con añadir a $f$ alguna función no nula con una serie de Taylor nula; tu comentario entre paréntesis parece indicar que eres consciente de que tales funciones existen (si no, considera $\exp(-x^{-2})$ ampliado por la continuidad en $x=0$ ). Pero repito, la serie de Taylor no tiene que converger en absoluto, para cualquier $x$ (excepto para $x=0$ ).

Una serie de Taylor no es más que una serie de potencias formal, una forma de recoger la información de todas las derivadas de $~f$ evaluado en $~0$ . Efectivamente (aunque hay que trabajar para ver esto) cada La serie de potencias formal se presenta como la serie de Taylor de alguna función (de hecho de infinitas).

Answer 3

Un ejemplo estándar es $$ f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^2}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}. $$ Esta función es suave (en realidad es infinitamente diferenciable), pero si se calcula la serie de Taylor en $0$ se encuentra que todos los coeficientes de Taylor son cero. Por lo tanto, esta función tiene una serie de Taylor en $0$ que es convergente para todo $x$ pero no es igual a la función original. Esto satisface la afirmación que mencionaste de que no todas las funciones suaves son analíticas.

Answer 4

Supongamos que $f$ es infinitamente diferenciable en una vecindad de $0$ . Entonces el teorema de Taylor sobre $$f(x)=T_n(x)+R_n(x)\tag{1}$$ dice que para fijo $n\geq0$ y $x\to0$ tienes $$\lim_{x\to0}{R_n(x)\over|x|^n}=0\ .$$ Su pregunta sobre el Taylor serie $T_\infty(x)$ comienza con $(1)$ también, pero se refiere al límite $n\to\infty$ para fijo $x$ en su lugar. Quiere saber en qué circunstancias $$\lim_{n\to\infty} T_n(x)=f(x)\tag{2}$$ para todos $x$ en un barrio adecuado $U$ de $0$ . Ahora $(2)$ es equivalente a $\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$ para cada $x\in U$ . Esto último sólo puede demostrarse analizando los términos de error $R_n(x)$ utilizando las diversas formas analíticas disponibles para $R_n(x)$ y, por ejemplo, estimaciones concretas de las derivadas superiores $f^{(n+1)}(x)$ para $x\in U$ .

Answer 5

Es cierto que SI una función $f$ admite una expansión en serie de potencias, ENTONCES su serie de Taylor asociada converge a $f$ y, de hecho, las dos series coinciden (esto se debe a que las series de potencias se pueden diferenciar término a término). Pero esto no nos dice nada sobre el comportamiento de una serie de Taylor si lo único que sabemos es que existe -en particular, si no sabemos si $f$ admite esa expansión en serie de potencias.