Cómo obtener la fórmula de Ito casi con seguridad a partir de demostrar que $df(B_t)$ converge en probabilidad a $f'(B_t)dB_t + 1/2 f''(B_t)dt$ .

Question

Estoy estudiando la demostración de la fórmula de Ito que aparece en el libro de René Schilling Brownian Motion.

Teorema. Sea $B_t$ sea un movimiento browniano unidimensional y sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ser un $C^2$ -función. Entonces tenemos para todo $t \ge 0$ casi seguro $$f(B_t)-f(B_0) = \int_0^t f'(B_s)dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t f''(B_s)ds.$$

La prueba consiste en suponer primero que el soporte de $f$ es compacta, y luego mostrar que para cualquier partición $t_0=0<t_1<\cdots <t_N=t$ tenemos la descomposición $$f(B_t)-f(B_0) = \sum_{l=1}^N f'(B_{t_{l-1}})(B_{t_l}-B_{t_{l-1}})+\frac{1}{2} \sum_{l=1}^N f''(\xi_l)(B_{t_l}-B_{t_{l-1}})^2 =:J_1 + J_2$$ donde $\xi_l=\xi_l(\omega)$ es un punto intermedio entre $B_{t_{l-1}}$ y $B_{t_l}$ .

La prueba se completa demostrando que $J_1 \to \int_0^t f'(B_s)dB_s$ en probabilidad como $|\Pi|\to 0$ y $J_2\to \frac{1}{2}\int_0^t f''(B_s)ds$ en probabilidad como $|\Pi|\to 0$ . Por último, utilizamos funciones de corte en el caso general y utilizando la identidad anterior para $t\wedge \tau(l)$ donde $\tau(l):=\inf \{s>0: |B_s|\ge l\}$ Utilice $\lim_{l\to \infty} \tau(l)=\infty $ casi seguro de completar.

Pregunta: En el teorema, ¿cómo obtenemos la identidad casi segura? En realidad, la prueba demuestra que el LHS de la fórmula de Ito converge en probabilidad al RHS. ¿Cómo implica esto que la identidad se cumple a.s.?

Es decir, la prueba demuestra que $P-\lim_{|\Pi|\to 0} (f(B_t)-f(B_0))=\int_0^t f'(B_s)dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t f''(B_s)ds$ pero, ¿qué significa esto que $f(B_t)-f(B_0)= \int_0^t f'(B_s)dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t f''(B_s)ds$ ?

Answer 1

Creo que aquí hay una confusión sobre qué cantidad converge a qué cantidad y en qué sentido. La segunda afirmación sobre la convergencia casi segura se refiere a : $$\frac{1}{2}\int_0^{t\wedge \tau(l)} f''(B_s)ds\to \frac{1}{2}\int_0^t f''(B_s)ds $$

y

$$\int_0^{t\wedge \tau(l)} f'(B_s)dB_s\to \int_0^t f'(B_s)dB_s$$

no en el límite de : $$P-\lim_{|\Pi|\to 0} (f(B_t)-f(B_0))=\int_0^t f'(B_s)dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t f''(B_s)ds$$ sustituyéndose por convergencia casi segura, ya que como sabrá (ingenua o determinista) la integración estocástica no puede definirse de forma casi segura (eche un vistazo a la sección 8 del primer capítulo del libro de Protter)(*).

Así que ahora la convergencia casi segura es trivial para $\frac{1}{2}\int_0^{t\wedge \tau(l)} f''(B_s)ds$ como la convergencia casi segura de $t\wedge \tau(l) \to t$ es la única propiedad de la integración habitual vista a una fija $\omega$ .( $ \int_0^{t_n(\omega)} f(s)ds \to \int_0^t f(s)ds$ como $t_n(\omega) \to t$ casi seguro)

Y para el segundo tienes que usar la variación cuadrática para mostrar el mismo punto porque dos procesos con la misma variación cuadrática (camino por camino) son iguales hasta una constante que no es muy difícil de mostrar aquí que es nula.

(*) Hablando con toda generalidad depende de qué propiedades quieras para tu integral estocástica, hay formas de integración estocástica casi segura pero tienes que perder algo, de todos modos en el contexto del libro de Schilling esas consideraciones son irrelevantes OMI.

Answer 2

Como ha dicho TheBridge, la integral de Itô como proceso es ambigua en un conjunto nulo. Sin embargo, siempre se puede encontrar una martingala igual a la integral de Itô en casi todas partes. Tenga en cuenta que si usted tiene una secuencia de coberturas en la probabilidad se puede encontrar una subsecuencia converge casi seguro. Así que usted puede probar los límites casi seguros de la subsecuencia $J_1,{n_k}$ y $J_2,{n_k}$ igual al RHS.