Producto de números aleatorios.

Question

Hallar la constante $p$ tal que el producto de cualquier número (positivo) $N_0$ multiplicado por números aleatorios sucesivos comprendidos entre $0$ y $p$ no divergirá, en promedio, ni al infinito ni convergerá a cero.

(Esto no es para hacer los deberes ni nada de eso. Es un problema que me he "inventado" y resuelto, y ahora quiero ver qué opinan los matemáticos de verdad. Tómate tu tiempo).

(Gracias md2perpe por arreglar mi etiqueta).

(Gracias Forester por hacer que las variables se rendericen bien).

Answer 1

Aquí está mi intento. Te dejo para llenar los detalles que faltan.

Llame a $X_n$ la variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo $(0,p)$ . Entonces $$\prod_{n=1}^N X_n \mbox{ is bounded and stays away from zero} \Longleftrightarrow \sum_{n=1}^N \log X_n \mbox{ is bounded }$$ Las variables aleatorias $\log X_n$ tiene valores en el intervalo $(- \infty , \log p)$ y no está distribuido uniformemente. Claramente, una condición necesaria de $$\sum_{n=1}^N \log X_n \mbox{ is bounded }$$ es que la media de $\log X_n$ es cero.

Por lo tanto, necesitamos $$\int_{0}^{ p} \log t \ \mathrm d t =0 $$ esta condición equivale a $$p \log p -p =0$$

Esta ecuación en la variable $p >0$ se resuelve fácilmente y la única solución positiva es $p=e$ .

Answer 2

Pensándolo bien, no estoy seguro de que la pregunta sea correcta tal como está formulada.

Si se toma la media aritmética de la respuesta, incluso con p=e, ésta tenderá a hacerse muy grande, porque se dará el caso impar, en el que se multiplica por números mayores que 1 de forma constante. Bastan unos pocos números de este tipo para que la media aritmética se dispare.

Quizás al multiplicar por más y más números de este tipo, la media baje(?) pero no estoy seguro.

Alternativamente, la pregunta podría reformularse para que fuera sobre algún tipo de media geométrica?

Answer 3

Gracias a todos. Resulta que $p=e$ es exactamente correcto, que todo depende de usar el logaritmo, y luego transformar una suma infinita en una integral. Mis pasos fueron más o menos los mismos:

Sea $\tilde{N}$ denotan el producto después de $j$ iteraciones. Entonces, tenemos $$\frac{\tilde{N}}{N_0} = \left(p \cdot r_1\right) \cdot \left(p \cdot r_2\right) \cdot \left(p \cdot r_3\right) \cdot \cdots \:,$$ donde $p$ es constante, y cada $r_j$ es un número aleatorio comprendido entre $0$ y $1$ . A continuación, toma el logaritmo natural de ambos lados, convirtiendo el producto de la derecha en suma: $$\ln\left(\frac{\tilde{N}}{N_0}\right) = \ln\left(p \cdot r_1\right) + \ln\left(p \cdot r_2\right) + \ln\left(p \cdot r_3\right) + \cdots$$

Para satisfacer la pregunta tal como está planteada, tenemos que el lado izquierdo (en promedio) se resuelve en cero, y el número de términos de la derecha se aproxima al infinito. Esto hace que $r$ una variable continua: después de muchas iteraciones, hemos muestreado todos los números reales entre cero y uno. Es decir, podemos sustituir la suma por una integral: $$0 \approx \ln\left(\frac{\tilde{N}}{N_0}\right) = \int_0^1 \left(\ln p + \ln r\right) dr \:,$$ y la respuesta cae directamente. Sólo $p=e$ cumple lo anterior.