Halla la probabilidad P(X+Y<0)?

Question

En esta pregunta estoy confundido en la toma del límite de integración

hice asi para encontrar el valor de la constante c necesito hacer

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}dxdy=1$$ $$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}cxydxdy+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}2cxydxdy=1$$ ahora desde la pregunta valor limite de integracion puedo cambiar asi $$\int_{-\infty}^{1}\int_{0}^{\infty}cxydxdy+\int_{-1}^{\infty}\int_{-\infty}^{0}2cxydxdy=1$$

pero si voy a hacer como que no puedo obtener el valor de c porque el valor de integración se convertirá en infinito.

¿Me estoy equivocando con el límite de integración?

Answer 1

Hay dos pasos clave en este problema:

1. Encontrar el valor correcto de C
2. Utilizando este valor C para calcular la respuesta

Intentaré indicarte la dirección correcta, pero una solución completa es algo larga en álgebra.

Para el primer paso: estás 100% en lo cierto al intentar establecer la integral sobre el dominio de $f$ a 1. Los límites deben establecerse de la siguiente manera: $$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x,y) \ dy \ dx = \int_{-1}^0 \int_{-1}^0 2cxy \ dy \ dx + \int_0^1 \int_0^1 cxy \ dy \ dx = 1$$ Esto se puede ver en el dominio descrito por la función que se te ha dado. Espero que puedas ver cómo obtuve los límites que obtuve.

Para el segundo paso: intente dibujar la región en el plano XY que satisfaga tanto $f(x,y) \neq 0$ y $X + Y < 0$ . Integración de $f(x,y)$ sobre esta región debería darte $P(X+Y<0)$ .