Sea $ A\in M_n(\mathbb{C}) $ sea una matriz invertible y no diagonalizable. Demostrar que para todo $k\ge 1 \Rightarrow A^k$ no es diagonalizable.

Question

Sea $ A\in M_n(\mathbb{C}) $ sea una matriz invertible y no diagonalizable. Demostrar que para todo $k\ge 1 \Rightarrow A^k$ no es diagonalizable.

Hola a todos. Desde $A$ ha terminado $\mathbb{C}$ entonces $A$ debe tener una forma normal de Jordan que no sea una matriz diagonal. Por lo tanto, al menos uno de sus bloques básicos de Jordan es de la forma $\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & \dots & 0& \lambda \\ \end{pmatrix} = J_n(\lambda) $

( $\lambda \neq 0$ para $A$ es invertible).

Desde $A$ es similar a algunos $J_A$ Matriz de Jordan entonces $P^{-1}AP=J_A \implies P^{-1}A^kP=(J_A)^k$ entonces $A^k$ es similar a $(J_A)^k$ que es una matriz diagonal de bloques en la que uno de sus bloques es $(J_n(\lambda))^k$ . Ya había demostrado que

$$(J_n(\lambda))^k = \begin{pmatrix} \lambda^k & \binom{k}{1}\lambda^{k-1} & \binom{k}{2}\lambda^{k-2} & \cdots & \cdots & \binom{k}{j-1}\lambda^{k-j+1} \\ & \lambda^k & \binom{k}{1}\lambda^{k-1} & \cdots & \cdots & \binom{k}{j-2}\lambda^{k-j+2} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ & & & \ddots & \ddots & \vdots\\ & & & & \lambda^k & \binom{k}{1}\lambda^{k-1}\\ & & & & & \lambda^k \end{pmatrix}$$

y observamos que $$(J_n(\lambda))^k=f(J_n(\lambda))=\begin{pmatrix}f(\lambda)&f^\prime(\lambda)&\cdots&\frac{f^{(n-1)}(\lambda)}{(n-1)!}\\&f(\lambda)&\ddots&\vdots\\&&\ddots&f^\prime(\lambda)\\&&&f(\lambda)\end{pmatrix}$$ donde $f$ es el polinomio $f(t)=t^k$

Quería demostrar esta afirmación utilizando esto, con el operador de diferenciación $D$ (por ejemplo, sé que $f\in \ker(D-\lambda I) \iff D^k(e^{-\lambda t}f)=0 $ y he pensado en utilizarlo, pero no estoy seguro de cómo).

Atención: Sé cómo demostrarlo utilizando el polinomio mínimo, pero me gustaría demostrarlo utilizando la forma normal de Jordan, ya que esta es la dirección que nuestro profesor quiere que tomemos. Me encantaría escuchar sus pensamientos, gracias :)

Answer 1

Podemos suponer que $A$ está en la forma de Jordan.

$A$ no es diagonalizable por lo que $\exists\lambda \in \sigma(A)$ de forma que $A$ tiene un bloque $J_j(\lambda)$ con $j \ge 2$ lo que equivale a $\dim\ker (A - \lambda I) < \dim\ker (A - \lambda I)^2$ .

Tenemos $$J_j(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & \dots & 0& \lambda \\ \end{pmatrix} \implies J_j(\lambda)^k = \begin{pmatrix} \lambda^k & k\lambda^{k-1} & * & \dots & * \\ 0 & \lambda^k & k\lambda^{k-1} & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & * \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & k\lambda^{k-1} \\ 0 & 0 & \dots & 0& \lambda^k \\ \end{pmatrix}$$

así que $$(J_j(\lambda)^k - \lambda^kI)^2 = J_j(\lambda)^k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & k^2\lambda^{2k-2} & \dots & * \\ 0 & 0 & 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & k^2\lambda^{2k-2} \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0& 0 \\ \end{pmatrix}$$

con términos distintos de cero $k^2\lambda^{2k-2}$ en la diagonal dos lugares por encima de la diagonal principal. Así que $$\dim\ker (J_j(\lambda)^k - \lambda^k I)^2 = 2 > 1 =\dim\ker (J_j(\lambda)^k - \lambda^k I)$$

Una matriz bloque-diagonal conserva su estructura bloque-diagonal al tomar potencias, por lo que $\dim\ker (A^k - \mu^k I)$ es simplemente la suma de las dimensiones de los núcleos de sus bloques (que son de los mismos tamaños que los de $A$ ). Lo mismo vale para $\dim\ker (A^k - \mu^k I)^2$ .

Por lo tanto $\dim\ker (A^k - \lambda^k I)^2 > \dim\ker (A^k - \lambda^k I)$ lo que implica que $A^k$ tiene un bloque Jordan de tamaño $\ge 2$ asociado a $\lambda^k$ .

Concluimos que $A^k$ no es diagonalizable.