Soluciones no separables de la ecuación de Schroedinger

Question

Estoy estudiando un curso de mecánica cuántica de grado y tengo algunas dudas sobre la solución de la ecuación de Schroedinger por el método de separación de variables. Si suponemos que las soluciones tienen la forma $$\Psi(x,t)=T(t)\psi(x)$$ obtenemos dos ecuaciones, la primera da el factor de fase de evolución temporal $T_n(t)=e^{-iE_nt/\hbar}$ y la otra la "función de onda espacial" $\psi_n(x)$ .

Así que todas las soluciones separables tienen la forma $$\Psi_n(x,t)=e^{-iE_nt/\hbar}\psi_n(x)$$ y estos representan los estados estacionarios.

Si sumamos estas soluciones podemos obtener incluso soluciones no separables $$\Psi=\sum C_n\psi_nT_n.$$

Pero no encuentro ningún postulado o teorema que afirme que toda solución de la ecuación de Schroedinger pueda expresarse de esta forma.

¿Son todas las posibles soluciones de la ecuación expresables mediante una suma (infinita) de soluciones separables?

Si recuerdo correctamente los cursos de matemáticas esto se puede expresar preguntando si los vectores propios del operador hamiltoniano son un conjunto completo (base) del espacio de Hilbert.

¿Y en el caso del espectro continuo?

Answer 1

En efecto, esto sólo es posible en algunas situaciones, por ejemplo, cuando el espectro continuo está ausente (también puede consistir en un solo punto, véase el comentario de Valter Moretti más abajo). Una condición suficiente para que esto sea cierto es que el hamiltoniano sea compacto o tenga un resolvente compacto.

Lamentablemente, muy pocos hamiltonianos interesantes satisfacen esa propiedad (un ejemplo es el oscilador armónico). En general, la solución de la ecuación de Schrödinger existe para cualquier condición inicial $\psi_0\in\mathscr{H}$ (el espacio de Hilbert), utilizando el grupo unitario de un parámetro fuertemente continuo $e^{-it H}$ asociado al Hamiltoniano autoadjunto $H$ por el teorema de Stone. La solución en cualquier momento $t\in \mathbb{R}$ se escribe simplemente $$\psi(t)=e^{-itH}\psi_0\; .$$ Dicha solución es continua en el tiempo, y con respecto a los datos iniciales, pero es diferenciable en el tiempo sólo si $\psi_0\in D(H)$ , donde $D(H)$ es el dominio del operador autoadjunto $H$ . En el lenguaje del análisis de las EDP, eso significa que las ecuaciones de Schrödinger, para hamiltonianos autoadjuntos, son globalmente bien planteado en $\mathscr{H}$ .

Answer 2

Esencialmente, la separación de variables en la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo equivale a diagonalizar el hamiltoniano. Uno puede ver esto fácilmente considerando el caso donde el espacio de Hilbert es finito-dimensional, y el Hamiltoniano es una matriz Hermitiana.

En el caso de un espectro parcialmente continuo se obtiene lo mismo, salvo que la suma debe sustituirse por una integral sobre un conjunto de etiquetas que resuelve el espectro completo. El espectro continuo está etiquetado por los momentos de los posibles estados de dispersión. La transformación al operador diagonalizado viene dada por el llamado operador de Moeller.