Construcciones geométricas con cónicas

Question

Desde la antigua Grecia se ha intentado utilizar las secciones cónicas para realizar construcciones geométricas. En realidad, parece que el objetivo de Apolonio de Perga, al escribir su tratado sobre las cónicas, era desarrollar las propiedades de estas curvas necesarias para su aplicación a la solución de problemas geométricos.

¿Qué se sabe sobre los problemas que pueden resolverse utilizando cónicas? Por supuesto, esto supone que la expresión "utilizar cónicas" se defina con la misma precisión que "utilizar compás y regla". ¿Se ha hecho alguna vez ese estudio? Me gustaría tener referencias al respecto. De hecho, no me interesa tanto lo que puede mediante cónicas. Lo que me gustaría saber es qué no puede de forma similar a la prueba de Pierre Wantzel del hecho de que los problemas de doblar el cubo y de trisecar un ángulo no pueden resolverse utilizando únicamente compás y regla.

Answer 1

Usted puede encontrar Gibbins y Smolinsky de Construcciones geométricas con elipses útil.

En la sección final afirma que un polígono regular con $n$ lados es construible con cónicas si y sólo si $\phi(n) = 2^s3^t$ . (Aquí $\phi$ es la función totiente, y el enunciado es perfectamente paralelo al requisito $\phi(n) = 2^s$ para construcciones con regla y compás.

La prueba se da en la obra de Videla Sobre los puntos construibles a partir de cónicas (referencia completa en el documento G+S).

Entonces, a tu pregunta en los comentarios, un 13-gon es construible con cónicas porque $\phi(13)=12$ .