Cómo demostrar $3^{\log_4n} = n^{\log_43}$ ?

Question

Lo he sacado de "4.4 El método del árbol de recursión para resolver recurrencias" en el libro "Introducción a los algoritmos".

La recurrencia que se intenta resolver con el árbol de recursión es: $T(n) = 3T(n/4) + cn^2$

Answer 1

$$\Large{3^{\log_4n}=e^{\ln3\frac{\ln n}{\ln4}}=e^{\ln n\frac{\ln 3}{\ln4}}=n^{\log_43}}$$

Answer 2

Sea $\log_4n=y\implies4^y=n$

Ahora $n^{\log_43}=4^{y\log_43}=(4^{\log_43})^y=3^y$

en cuanto a si $\log_43=z,3=4^z=4^{\log_43}$

Alternativamente,

si $3^{\log_4n}=y,\log_4y=\log_43\log_4n$

y si $n^{\log_43}=z,\log_4z=\log_4n\log_43$

$$\implies\log_4y=\log_4z\implies y=z$$

Answer 3

Toma la base logarítmica 3 de ambos lados. Se obtiene $log_4(n) \stackrel{?}{=} log_4(3) * log_3(n)$

A continuación, observe que $log_3(n) *log_4(3) = log_4(3^{log_3(n)}) = log_4(n)$

Answer 4

Déjalo, $\log_4{n}=p$ entonces $n=4^p$ de la definición de $\log$ . Ahora, $n^{\log_4{3}}=4^{p\log_4{3}}=(4^{log_4{3}})^p=3^p=3^{\log_4{n}}$ .

También puedes hacerlo así:

Uso , $3=4^{\log_4{3}}$ entonces $3^{\log_4{n}}=(4^{\log_4{3}})^{\log_4{n}}=(4^{\log_4{n}})^{\log_4{3}}=n^{\log_4{3}}$

Answer 5

Usted tiene $\log_4$ aquí, así que escribe ambos números como potencias de $4$ y vemos inmediatamente que $$(4^{\log_43})^{\log_4n}=(4^{\log_4n})^{\log_43}$$ Como alternativa (o más bien equivalente), tome $\log_4$ de ambos números, y los números se ven claramente iguales.