Demostrar que una función que mapea un espacio métrico discreto a cualquier espacio métrico es continua.

Question

Sea $f:DM$ donde $M$ puede ser cualquier espacio métrico y $D$ es cualquier conjunto con la métrica discreta. Demostrar que $f$ es continua.

No sé por dónde empezar.

Answer 1

La imagen inversa de cualquier conjunto abierto es un conjunto en la topología discreta, y por tanto es abierto.

Answer 2

Pista : En un espacio topológico discreto todos los subconjuntos son abiertos ya que los singleton son abiertos.

Answer 3

Dado que se trata de una configuración de espacio métrico, se puede hacer argumento secuencial. Primero demuestre que cualquier secuencia convergente en un espacio métrico discreto es eventualmente una secuencia constante (es decir, una secuencia cuyos términos son constantes después de posiblemente un número finito de índices). Elija cualquier $x\in D$ . Así que si $x_n\to x$ en $D$ implica que $\exists n_0\in\Bbb N$ tal que $x_n=x,\forall n\ge n_0$ . Por lo tanto $f(x_n)=f(x),\forall n\ge n_0$ es decir $f(x_n)\to f(x)$ en $M$ . Por lo tanto $f$ es continua en todos los puntos de $D$ .