Cómo resolver $x_{n+1} = \frac{x^2_n + 1}{x_n}$ si $x_0>1$ ?

Question

Cómo resolver la siguiente relación de recurrencia, suponiendo que $x_0 > 1$ :

$$x_{n+1} = \frac{x^2_n + 1}{x_n}$$ ¿Puedo dividir la fracción, es decir $x_{n+1} = x_n + \frac{1}{x_n}$ ?

Answer 1

Si $x_n \neq 0$ puedes escribir $x_{n+1} = x_n + \frac{1}{x_n}$ . Desde $x_n$ y $\frac{1}{x_n}$ tienen el mismo signo, está claro que si $x_n>0$ entonces $x_{n+1}>x_n$ . Por lo tanto $x_n$ está aumentando.

Hay dos posibilidades, si $x_n$ tiene un límite superior, entonces, como es creciente, tenemos $x_n \uparrow x$ y puesto que $x_{n+1} - x_n = \frac{1}{x_n}$ vemos que el lado derecho converge a $\frac{1}{x}$ y el lado izquierdo converge a $0$ una contradicción. Por lo tanto $x_n$ no tiene límite superior, es decir, $x_n \uparrow +\infty$ .

Un argumento más o menos idéntico demuestra que si $x_0 <0$ entonces $x_n \downarrow -\infty$ .

Por lo tanto, tenemos $\lim_n x_n = \begin{cases} -\infty, & x_0 <0 \\ +\infty & x_0 >0 \end{cases}$ .