¿Existen sistemas aritméticos no triviales en los que el orden de precedencia de los operadores no modifique el resultado?

Question

Supongamos que tenemos una expresión arbitraria con los cuatro operadores $(+,-,\div,\times)$ Al cambiar el orden de precedencia, cambia el resultado de la operación. ¿Existen sistemas aritméticos $[1]$ en el que un orden arbitrario de precedencia no modifica los resultados?

$[1]$ - No estoy seguro de cómo debería llamarse la cosa, pero supongo que sería algo así como sistema aritmético o quizás un álgebra.

Answer 1

Depende de lo que espere de las operaciones. Si quiere, por ejemplo, que exista un $0$ tal que $x+0=x$ y $x\times 0=0$ para cada $x$ y si además quieres que exista un $x\neq 0$ entonces $$(x+0)\times 0$$ es otra cosa que $$x+(0\times 0).$$

Answer 2

Hay sistemas en los que se definen (+,-,*,/) de forma que sean reflexivos. Podemos simplemente definir un operador "+" como un operador trivial, por ejemplo a+b=0 para todo a,b. Haciendo esto continuamente, puedes definir todas las operaciones de forma que funcionen bien. De hecho, incluso se puede hacer que todas las operaciones correspondan a 0 (o a algún otro elemento).

También se podría tratar con algo parecido a las álgebras booleanas, aunque no tienen operación(es) de resta/división.

Answer 3

Aquí hay una construcción que es más simple que la que esbocé en mi Comentario.

Sea $G$ sea un grupo, y sea $a,s,m,d$ sean elementos arbitrarios del grupo.

Definir una operación binaria sobre $G$ por $g \circ_a h = gah$ y lo mismo para $\circ_s,\circ_m,\circ_d$ . Afirmamos que un orden de precedencia en estas operaciones no tiene ningún efecto sobre el valor final de una expresión construida únicamente a partir de estas cuatro.

Considera una expresión concreta y cómo se evalúa:

$$ g_1 \circ_a g_2 \circ_s g_3 \circ_m g_4 \circ_d g_5 = g_1 a g_2 s g_3 m g_4 d g_5 $$

Este valor final no depende de un orden de precedencia, sabiendo que la multiplicación de grupos es asociativa. Se podría ampliar la sucesión de operadores y, haciendo que algunos de ellos fueran idénticos, establecer la proposición general de su indiferencia al orden de precedencia.

Además, estas operaciones binarias son distintas cuando $a,s,m,d$ son, y no son conmutativas cuando el centro de $G$ excluye $a,s,m,d$ . Sin embargo, poseen algunas propiedades interesantes: asociatividad y existencia de identidades e inversos de dos caras.

$$ g \circ_a a^{-1} = g = a^{-1} \circ_a g $$ $$ g \circ_a (a^{-1} g^{-1} a^{-1}) = a^{-1} = (a^{-1} g^{-1} a^{-1}) \circ_a g $$

Answer 4

No, porque la regla en aritmética regular que hace que el sistema sea lo suficientemente complejo como para ser interesante es la regla distributiva a(b + c) = ab + ac, que establece que se multiplica antes de sumar. Creo que esto lo aprendí de Godel, Escher, Bach.