deje $x ,y ,z \in \mathbb{N} ,x \leq y\leq z$ y : $\frac{100}{336}=\frac{1}{x}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xyz}$ entonces : $x+y+z =?$

Question

Deje $x ,y ,z \in \mathbb{N} ,x \leq y\leq z$

y :

$$\frac{100}{336}=\frac{1}{x}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xyz}$$

entonces :

$$x+y+z =?$$

mi intento :

$$\frac{100}{336}=\frac{1}{x}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xyz}=\frac{xy+z+1}{xyz}=\frac{25}{84}$$

¿ahora?

Answer 1

Sea $x,y,z\in\mathbb{N}$ con $x<y<z$ . En primer lugar, se puede reescribir la ecuación como $$\dfrac{100}{336}=\dfrac{25\lambda}{84\lambda}=\dfrac{yz+z+1}{xyz}.$$ para un número entero positivo $\lambda$ . Puesto que sabemos que $xyz$ y que $yz+z+1$ son números enteros, podemos esperar encontrar una solución para el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases}84\lambda=xyz\\ 24\lambda=y(z+1)\end{cases}.$$ Entonces tenemos $y=\tfrac{24\lambda}{z+1}$ que se traduce como $$84=\dfrac{24xz}{z+1}\qquad\Rightarrow\qquad7(z+1)=2xz.$$ Así, $7=(2x-7)z$ lo que sugiere la solución $x=4$ y $z=7$ . Introduciendo esto en la primera ecuación del sistema, tenemos $3\lambda=y$ . Si queremos respetar nuestra condición $x<y<z$ encontramos $y=6$ .

En conclusión, $x=4$ , $y=6$ y $z=7$ es una solución.

Ten en cuenta que he editado esta respuesta porque cometí un error al olvidarme de las condiciones.

Answer 2

Debe ser $x=4$ , $y=6$ , $z=7$ y la respuesta a la pregunta original es 17.

Puede utilizar el método descrito aquí para obtener la expansión de Engel de un número.

La ampliación Engel para $x$ se escribe $x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_1a_2a_3}+\cdots$

Como se describe en la wiki, los valores no decrecientes $a_1, a_2, \ldots$ puede obtenerse utilizando

$$u_1=x \qquad a_k=\left \lceil \frac{1}{u_k} \right \rceil \qquad u_{k+1}=u_ka_k-1$$

y parando al llegar a $u_k = 0$ .

A partir de $x=\frac{25}{84}$ conduce a la solución requerida.