Deje $x ,y ,z \in \mathbb{N} ,x \leq y\leq z$
y :
$$\frac{100}{336}=\frac{1}{x}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xyz}$$
entonces :
$$x+y+z =?$$
mi intento :
$$\frac{100}{336}=\frac{1}{x}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xyz}=\frac{xy+z+1}{xyz}=\frac{25}{84}$$
¿ahora?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Alexis Leroux-Lapierre
Puntos
33
Sea $x,y,z\in\mathbb{N}$ con $x<y<z$ . En primer lugar, se puede reescribir la ecuación como $$ \dfrac{100}{336}=\dfrac{25\lambda}{84\lambda}=\dfrac{yz+z+1}{xyz}. $$ para un número entero positivo $\lambda$ . Puesto que sabemos que $xyz$ y que $yz+z+1$ son números enteros, podemos esperar encontrar una solución para el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases}84\lambda=xyz\\ 24\lambda=y(z+1)\end{cases}.$$ Entonces tenemos $y=\tfrac{24\lambda}{z+1}$ que se traduce como $$ 84=\dfrac{24xz}{z+1}\qquad\Rightarrow\qquad7(z+1)=2xz.$$ Así, $7=(2x-7)z$ lo que sugiere la solución $x=4$ y $z=7$ . Introduciendo esto en la primera ecuación del sistema, tenemos $3\lambda=y $ . Si queremos respetar nuestra condición $x<y<z$ encontramos $y=6$ .
En conclusión, $x=4$ , $y=6$ y $z=7$ es una solución.
Ten en cuenta que he editado esta respuesta porque cometí un error al olvidarme de las condiciones.
Paul Aljabar
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101
Debe ser $x=4$ , $y=6$ , $z=7$ y la respuesta a la pregunta original es 17.
Puede utilizar el método descrito aquí para obtener la expansión de Engel de un número.
La ampliación Engel para $x$ se escribe $x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_1a_2a_3}+\cdots$
Como se describe en la wiki, los valores no decrecientes $a_1, a_2, \ldots$ puede obtenerse utilizando
$$u_1=x \qquad a_k=\left \lceil \frac{1}{u_k} \right \rceil \qquad u_{k+1}=u_ka_k-1 $$
y parando al llegar a $u_k = 0$ .
A partir de $x=\frac{25}{84}$ conduce a la solución requerida.
