¿Cuándo tiene sentido construir un intervalo de confianza para la media con desviación típica conocida?

Question

Al estimar con intervalo de confianza el valor medio de una población, existen dos opciones:

1. Si se conoce la desviación típica, y
2. Si se desconoce la desviación típica.

Pero en el primer caso, en el que se conoce la desviación típica, ¿no debería conocerse también el valor medio? Entonces, ¿por qué necesitamos estimarla? Porque para calcular la desviación típica ya debemos tener la media... ¿o hay alguna otra forma de conocer la desviación típica?

Answer 1

Por un par de razones:

1. Podemos estimación la desviación típica sin conocer la media. Por ejemplo, una variable aleatoria que sólo toma los valores $0$ y $1$ tiene una desviación típica máxima de $1/2$ . Esto puede utilizarse para proporcionar una estimación conservadora del tamaño del intervalo de confianza.

2. En un libro de texto, esto puede hacerse sólo para ilustrar una técnica matemática.

Answer 2

He aquí un ejemplo real $\mu$ es desconocido y $\sigma$ conocido: Utilizamos un equipo de laboratorio para analizar un pequeño número de porciones de la mismo espécimen.

En este caso $\sigma$ es una propiedad del equipo, y probablemente conocida (impresa en el manual de instrucciones, verificada por uso previo). No obstante, $\mu$ es una propiedad del espécimen. Se sabe que la máquina produce lecturas distribuidas normalmente.

Diga $n = 4,\,\sqrt{n} = 2.$ En este caso podría haber una gran diferencia entre los dos intervalos de confianza del 95%: $\bar X \pm 1.96\sigma/2$ y $\bar X \pm 3.18 S/2,$ donde 3.18 procede de las tablas t y $S$ es el (bastante variable) de la muestra.

La siguiente figura ilustra la considerable diferencia entre el intervalo z basado en $\sigma = 10$ y el intervalo t basado en $S$ . El experimento de 4 porciones se simuló 10.000 veces. Cada punto muestra el $(\bar X, S)$ par de un experimento. El intervalo z cubre $\mu = 100$ para los puntos entre las líneas verticales verdes. En contrario, el intervalo t abarca los puntos en negro (por encima de la "V"). Para cada tipo de intervalo, aproximadamente el 95% de los 10.000 puntos corresponden a IC que cubren $\mu,$ pero hay una gran diferencia en que los experimentos producen intervalos "de cobertura". En particular, los intervalos z cubren cuando $\bar X$ está cerca $\mu$ mientras que los intervalos t cubren una combinación de valores pequeños de $|\bar X - \mu|$ y grandes valores de $S$ . Todos los z-CI del 95% tienen la misma longitud; los t-CIs varían notablemente en longitud (según el valor aleatorio de $S$ ).