Hallar la suma de la serie $\frac{1}{1!}+\frac{1+2}{2!}+\frac{1+2+3}{3!}+ \ldots$

Question

Determina la suma de la serie $$\frac{1}{1!}+\frac{1+2}{2!}+\frac{1+2+3}{3!}+ \ldots$$

Así que primero escribo el $n^{th}$ término $a_n=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n!}=\frac{n+1}{2(n-1)!}$ .

Así que a partir de ahí puedo escribir la serie como $$1+\frac{3}{2}+\frac{4}{2\times 2!}+\ldots +\frac{n+1}{2(n-1)!}+\ldots $$

Estoy bastante seguro de que puedo hacer algún tipo de integración término a término o diferenciación de alguna serie de potencias estándar y descifrar esto. ¿Alguna pista?

Answer 1

PISTA: Dividir $$\frac{n+1}{2(n-1)!}= \frac{1}{2(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}$$ y utilizar el hecho de que $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}=e$