Dominio y alcance de la composición de funciones

Question

Dada:

$a\left(x\right)=e^x$

$b\left(x\right)=\left|x+2\right|$

$c\left(x\right)=\frac{\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)}$

Lo que es:

1. $\left(\frac{a\cdot b}{c}\right)\left(3\right)$

2. El dominio de $\left(a^{-1}a^{-1}\right)\left(x\right)$ ?

3. La gama de $\left(ba\right)\left(x\right)$ ?

He llegado al punto de poder resolver la composición de funciones. Por ejemplo, he podido averiguar qué $\left(ba\right)\left(x\right)$ era; sin embargo, no sé cómo expresar el alcance. Cualquier cosa es útil.

Hasta ahora mis respuestas son:

2. Dominio: (1, $\infty $ ) Alcance:

3. Dominio: Alcance: (2, $\infty $ )

Answer 1

En general, el alcance es más difícil de averiguar que el dominio. Para el dominio, se determina qué elementos conducen a un problema, como dividir por cero o tomar el logaritmo de un no positivo.

Por ejemplo, $$a^{-1}\circ a^{-1}(x)=\ln \ln x$$ Para que esto tenga sentido, necesitas $\ln x >0$ o el registro externo no funcionará. Esto ocurre cuando $x>1$ .

La gama de $|e^x+2|$ pueden encontrarse en trozos. $e^x$ tiene alcance $(0,+\infty)$ . Por lo tanto $e^x+2$ tiene alcance $(2,+\infty)$ . Si se toma el valor absoluto de cualquiera de estos números, todos ellos permanecen invariables, por lo que el rango final es $(2,+\infty)$ .

Answer 2

Pistas para la segunda y la tercera pregunta:

• Por definición, $a^{-1}$ es la función $\ln$ (logaritmo natural). Su dominio es $(0,\infty)$ y su alcance es $\mathbb{R}$ . Además, $\ln(x)\in (0,\infty)$ cuando $x\in(1,\infty)$ .

• La gama de $a(x)=e^x$ es $(0,\infty)$ . En $y$ abarca todos los números positivos, ¿cuál es la cantidad $b(y)=|y+2|$ ¿hasta dónde?