Hallar la ecuación de un tercer plano que interactúa con dos planos dados

Question

Tengo un curso online en el que me piden que encuentre la ecuación de un tercer plano que se cruza con dos planos dados (P1: x + y + 3z 2 = 0 y P2: x y + 2z = 0) en un punto y en una línea (por tanto, dos respuestas diferentes).

No hemos cubierto nada de esto en el contenido proporcionado y no puedo encontrar nada parecido en Internet (incluida la base de datos sobre matemáticas stackexchange)

No pido respuestas directas, pero ¿podría alguien mostrarme el camino o indicarme por dónde debo empezar?

Lo que probé: Pensé que si todos los planos son perpendiculares, entonces los planos se encontrarían en un punto, así que encontré el producto cruzado de las dos normales (1,-1,3) x (1,-1,2) y encontré que (5,1,-2) era la normal, así que creé esto en un plano P3: x + y = 0, pero pensé que quizás el valor D (Ax + Bx + Cy + D \= 0) se supone que es igual a algo, por lo que abandoné dicha solución.

También para la intersección en una línea, creo que podría simplemente hacer el tercer plano perpendicular a uno de los planos y eso crearía un sistema donde los planos se intersecan en una línea. ¿Es correcto?

Esta es la pregunta: Determine la ecuación de un plano, P3, que interseca a los planos P1: x + y + 3z 2 = 0 y P2: x y + 2z = 0 en a punto; b línea.

Por favor, ¡ayuda!

Gracias.

Answer 1

Si se da un plano en el llamado forma punto-normal :

$$ax+by+cz=d$$ entonces el vector

$$\vec n=\begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}$$

es perpendicular a ese plano.

Tenemos dos planos y los vectores normales son

$$\vec n_1=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 3\end{bmatrix}\text{ and } \ \vec n_2=\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ 2 \end{bmatrix}.$$

Tomando el producto vectorial de estos dos vectores obtenemos un nuevo vector que es perpendicular a ambos vectores normales y es paralelo a ambos planos; y es paralelo a su línea de intersección. Entonces,

$$\vec d=\vec n_1\times \vec n_2=\begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ 1&1&3\\ 1&-1&2 \end{vmatrix}=\begin{bmatrix} 5\\ 1\\ -2\end{bmatrix}$$

Tenemos el vector de dirección de la línea de intersección. Cualquier vector perpendicular a $\vec d$ podría servir como vector normal de un plano que contiene la línea de intersección de los dos planos. $\vec n_1$ y $\vec n_2$ serían tales vectores pero no queremos usarlos (ni ningún múltiplo escalar de ellos) porque queremos un plano diferente de los planos dados. Para encontrar un vector perpendicular a $\vec d$ tenemos que resolver la siguiente ecuación de producto escalar

$$\vec d\cdot \vec n_3=\vec d\cdot\begin{bmatrix} x_{n_3}\\ y_{n_3}\\ z_{n_3} \end{bmatrix}=5x_{n_3}+y_{n_3}-2z_{n_3}=0.$$

Podemos elegir libremente, digamos, $x_{n_3}=0$ y $y_{n_3}=2$ . Entonces $z_{n_3}=1$ es la elección correcta:

$$\vec n_3=\begin{bmatrix} 0\\ 2\\ 1\end{bmatrix}$$

será perpendicular a $\vec d$ .

Para obtener la ecuación del tercer plano necesitamos un punto en la recta de intersección. Por ejemplo, un punto perteneciente a $t=0$ un punto común de los dos planos dados satisface ese requisito. Entonces el vector normal es $\vec n_3$ y un punto del tercer plano es $(1,1,0).$

Sea $(x,y,z)$ sea un punto arbitrario del tercer plano. Entonces el vector

\begin{bmatrix} x-1\\ y-1\\ z \end{bmatrix}

será paralelo a él y el producto escalar de este vector y $n_3$ será cero:

$$\vec d \cdot \begin{bmatrix} x-1\\ y-1\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ 2\\ 1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x-1\\ y-1\\ z \end{bmatrix}=0.$$

Por lo tanto, la ecuación punto-normal de un tercer plano adecuado es

$$2(y-1)+z=2y+z-2=0.$$

Comprobemos si la línea de intersección de los dos primeros planos está en el tercero. La ecuación de la recta de intersección es

$$\begin{bmatrix} x(t)\\ y(t)\\ z(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5\\ 1\\ -2\end{bmatrix}t+\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0\end{bmatrix}.$$

Sustituyendo $x(t)$ , $y(t)$ y $z(t)$ en la ecuación del tercer plano dará como resultado $0$ . Finalmente podemos ver que $n_3$ no es un múltiplo escalar de $n_1$ o $n_2$ .

La siguiente figura ilustra lo que hemos estado haciendo:

Answer 2

Para un plano que interseca otros dos planos en una línea en $3$ espacio euclidiano dimensional:

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Supongamos que $n_1$ es una normal para el plano $P_1$ que se encuentra en $3$ espacio euclidiano dimensional y $n_2$ es una normal para $P_2$ . Entonces $n_1 \times n_2$ es normal a las normales de ambos planos . Es normal que $n_1$ pero, ¿qué significa eso?

Si es normal a la normal del plano $P_1$ debe ser un vector tangente a $P_1$ .

Así que $n_1 \times n_2$ es tangente a ambos planos, por lo que es un vector de dirección de la recta que interseca ambos planos, si es que tal recta existe.

Así que podemos encontrar el vector de dirección a la línea que dos planos se cruzan tomando el producto cruz de sus normales.

Encontrar un punto en la línea es fácil. Tome $z=0$ o establecer cualquier otra cosa a una constante, y usted debe obtener un sistema resoluble de ecuaciones las otras coordenadas de un punto que se encuentra en la línea de intersección de los planos.

Una vez que tenga esta información, la línea de intersección es,

$$\vec r(t)=\vec v t+\vec w$$

Dónde $\vec v=\vec n_1 \times \vec n_2$ y $\vec w$ es el vector de posición que corresponde a cualquier punto específico que hayas encontrado y que esté en la línea de intersección.

Para hallar la ecuación de cualquier plano que contenga a esta recta (pero no a los dos planos conocidos) elige cualquier otro punto $A$ ni en la línea ni en los planos ya conocidos. Entonces escoge un punto de la recta y llama a este $B$ . Calcularemos la ecuación del plano que contiene a la recta y al nuevo punto. $\vec v \times \vec BA$ es una normal a dicho plano. Entonces la ecuación es,

$$(\vec v \times \vec BA) \cdot (\langle x,y,z \rangle-\vec B)=0$$

Para un avión en $3$ espacio euclidiano dimensional que interseca otros dos planos en un único punto.

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En mi opinión, es mejor pensar en este problema en términos de un sistema de ecuaciones,

Dos planos pueden ser,

$$ax+by+cz=d$$

$$ex+fy+gz=h$$

Supongamos que ya conoce estos planos. Otro plano puede ser,

$$i x+j y+k z=l$$

Para que estos tres se crucen en un punto único debe haber una solución única a este sistema de ecuaciones. Lo que significa que la matriz de este sistema de ecuaciones tiene que ser invertible, lo que implica que el determinante de los coeficientes es distinto de cero. Eso da alguna restricción sobre $i, j, k$ . A continuación, teniendo en cuenta que la restricción elegir cualquier $i, j,k$ que no entre en conflicto con la restricción y elija cualquier $x,y,z$ que se encuentra en la línea de intersección que se encontró en las partes anteriores. Sustitúyelos en la tercera ecuación, que te dará $l=i x+j y+k z$ . Así que ya sabes $i,j,k,l$ que funcionen y tengan $3$ aviones con una solución única.