Determine si la siguiente función es unívoca y/o onto

Question

$T(x,y,z) = (xy,yz,xz)$ Para uno a uno, hice $(x,y,z)=(u,v,w)$ y resuelto.

$$xy=uv\to y=\frac{uv}{x}$$

$$\frac{uz}{x}=w$$

$$xz = uw \to x = u$$

$$uy = uv \to y = v$$

$$vz = vw \to z = w$$

Así que como cada $(x,y,z)$ corresponde a un único punto $(u,v,w)$ , $T(x,y,z)$ es uno a uno. ¿Correcto?

Sin embargo, no sé cómo demostrar que la función es onto. Sé que $T(D*) = D$ y $T\vec x = A\vec x$ donde A es una $3\times3$ tal que $\det(A) \neq 0$ . Pero no sé cómo trabajar con esto para resolver sin tener algunos puntos para trabajar. Mirando a la función, estoy bastante seguro de que es onto porque cada punto en D * se asignará a algún lugar en D. Pero eso no es suficiente. ¿Podría elegir puntos arbitrarios y hacer ecuaciones y resolverlas? Por ejemplo:

$$\begin{bmatrix}a & b & c\\d & e &f\\g &h&i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}$$

$$ax+by+cz = u$$

$$dx+ey+fz = v$$

$$gx+hy+iz = w$$

A continuación, elija puntos arbitrarios para $x,y,z$ y tenga en cuenta que desde antes $u=x,v=y,w=z$ . Entonces resuelve. Pero, T ya está dado, así que esto puede ser inútil. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Sugerencia

Con respecto a ser uno a uno:

$$T(1,0,0)=(0,0,0)=T(0,0,1)\implies \cdots$$

Con respecto a ser onto:

Intentar resolver $T(x,y,z)=(-1,1,1).$ Eso es, $(xy,yz,xz)=(-1,1,1).$ $xz>0$ significa $x$ y $z$ tienen el mismo signo. $yz>0$ significa $y$ y $z$ tienen el mismo signo. ¿Es posible que $xy<0$ si ambos tienen el mismo signo?