Se sabe que las superficies cúbicas lisas tienen muchas propiedades maravillosas en común. Sin embargo, esto significa que no puedo demostrar fácilmente que dos de ellas no son isomorfas. Es de suponer que existen pares no isomorfos (sobre C) de superficies cúbicas lisas... ¿Puede alguien mostrar un par con pruebas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto es sólo una ampliación de una de las sugerencias de Ariyan más arriba.
De hecho, podemos demostrar que las superficies cúbicas hasta el isomorfismo forman una familia de 4 dimensiones simplemente contando los módulos. El punto delicado es precisamente lo que preguntaba el candidato en los comentarios: ¿por qué un isomorfismo de superficie cúbica debe proceder de una equivalencia proyectiva? Permítanme responder a eso.
Toda superficie cúbica lisa $S$ es incrustado anticanónicamente en $\mathbf P^3$ lo que significa que $O_{\mathbf P^3}(1)_{\vert S} = -K_S$ .
Sin embargo, como la codimensión es 1, esta incrustación es linealmente normal lo que significa que el mapa de restricción $H^0(\mathbf P^3, O(1)) \rightarrow H^0(S,-K_S)$ es un isomorfismo.
Un isomorfismo $S \cong S'$ de dos superficies cúbicas inducirá un isomorfismo $$H^0(S,-K_S) \cong H^0(S',-K_{S'}),$$ por tanto un automorfismo de $H^0 (\mathbf P^3,O(1))$ y, por tanto, una equivalencia proyectiva de
$$ \mathbf P^3 = \mathbf P \left( H^0 (\mathbf P^3,O(1))^\ast \right).$$
Observando los distintos mapas, vemos que esta equivalencia proyectiva induce exactamente el isomorfismo original entre $S$ y $S'$ .
Observación: Nótese que esta prueba no utiliza la descripción de superficies cúbicas como ampliaciones de $\mathbf P^2$ .
