Supongamos que tenemos dos mapas lineales $L:V\rightarrow W$ y $M:V\rightarrow W$ donde $\mbox{dim}\hspace{0.05cm}V=\mbox{dim}\hspace{0.05cm} W$ y $L$ es un isomorfismo. ¿Existe alguna condición suficiente que podamos imponer a $M$ para garantizar que $L-M$ es un isomorfismo?
Respuesta
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Esta no es la solución completa, pero sólo algunas notas interesantes. Trabajaré sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ . Si tenemos $||L^{-1}M||<1$ entonces podemos crear un inverso, denotando $L^{-1}M=X$ por $(\sum_i X^i)L^{-1}$ . Además, si $||M^{-1}L||<1$ se aplica el mismo argumento. En particular, si tenemos $||L^{-1}||^{-1}<||M||$ o $||M^{-1}||^{-1}<||L||$ . Lamentablemente podemos tener $||M^{-1}||>||M||^{-1}$ por lo que no podemos ir mucho más lejos con esta ruta.
Obsérvese que está claro que existe un inverso si y sólo si $char(L^{-1}M)(1)\neq 0$ por lo que el fallo es en realidad bastante raro, es decir, sólo hay un número finito de valores de $a$ tal que $L-aM$ no es invertible.
En otra dirección, observamos que $I-L$ es invertible si y sólo si $A(I-L)A^{-1}=I-ALA^{-1}$ es, así que tomando $L=diag(1, \gamma_1, \dots \gamma_n)$ , $\gamma_1\neq 0$ obtenemos un conjunto bastante grande de matrices sin la condición.
