si tal$\sqrt{37}+\sqrt{47}<\dfrac{n}{m}<\sqrt{41}+\sqrt{43}$ Encontrar esta $m$ mínimo

Question

deje $m,n\in N^{+}$, si tales

$$\sqrt{37}+\sqrt{47}<\dfrac{n}{m}<\sqrt{41}+\sqrt{43}$$ Encontrar el $m$ mínimo del valor

Yo: ya $$(\sqrt{37}+\sqrt{47})m<n<(\sqrt{43}+\sqrt{41})m$$ entonces $$\dfrac{10m}{\sqrt{47}-\sqrt{37}}<n<\dfrac{2m}{\sqrt{43}-\sqrt{41}}$$

(tal vez este problema, utilice la ecuación de pell?)

entonces yo no puedo,muchas Gracias

Answer 1

Desde

$$\sqrt{37}+\sqrt{47}=12.9384....$$ $$\sqrt{41}+\sqrt{43}=12.9605....$$

Escribir

$$\frac{n}{m}=13-\frac{k}{m}$$

$$13-0.0616< 13-\frac{k}{m}< 13-0.039$$ Por lo tanto $$.0616 > \frac{k}{m} \geq \frac{1}{m}$$

Esto demuestra que

$$m \geq \frac{1}{0.0616}=16.23$$

Por lo tanto, $m \geq 17$.

Para $17$ es fácil mostrar que $13-\frac{1}{17}$ tiene la propiedad deseada.

P. S. Si $m > \frac{1}{b-a}$, entonces es trivial demostrar que no existe un $n$, de modo que $a\leq \frac{n}{m} <b$. Este simple resultado, muestra que cualquier $m \geq 45$ obras, y reduce el problema a un número finito de cálculo: comprobar que $1 \leq m \leq 44$ obras...

Edición Fija algunos errores en los cálculos...