Demostrar que $\operatorname{span}(v_1,v_2, \ldots, v_n)$ es el subespacio

Question

Demostrar que para cualquier vector $v_1,v_1,\dots,v_n$ desde el espacio $V$ por encima del cuerpo $K$ , $\operatorname{span}(v_1,v_2, \ldots, v_n)$ es el subespacio de $V$ .

Después de leer esto de nuevo, creo que debería demostrar que es cerrado bajo adición y multiplicación. ¿Verdad? ¿Qué leyes debo usar? Lo intento: $ c ( \alpha v_1+\cdots+\alpha v_n) = c\alpha v_1+\cdots+ c \alpha v_n $ desde $c\alpha \in R$ Es cerrado bajo multiplicación escalar. Y lo mismo para la suma $( \alpha v_1+\cdots+\alpha v_n) + ( \beta v_1+\cdots+\beta v_n) = ( (\alpha + \beta) v_1+\cdots+(\alpha+\beta) v_n)$ y lo mismo $(\alpha + \beta) \in R$ utilizando ese $R$ es cerrado por adición. Por tanto, es un subespacio válido. ¿Es una buena solución?

Answer 1

Tienes un error ya que sólo has considerado combinaciones lineales de la forma $x = \alpha v_1 + \cdots + \alpha v_n$ - que es con el mismo coeficiente a través de y usted no ha comprobado que $0 \in \text{span}(\{v_1,\ldots,v_n\})$ . Si, por el contrario, lo haces como menciona Dan en los comentarios debes comprobar que $\text{span}(\{v_1,\ldots,v_n\}) \neq \emptyset$ . Además, su presentación podría ser mejor. Echa un vistazo a esto que espero que sea una mejora:

Sea $V$ sea un espacio vectorial. Demostrar que $W = \text{span}(\{v_1,\ldots,v_n\})$ es un subespacio de $V$ où $v_1,\ldots,v_n \in V$ .

Prueba : Tenemos $0 \in W$ como $0 = 0 \cdot v_1 + \cdots + 0\cdot v_n$ es una combinación lineal de los vectores $v_1, \ldots, v_n$ y $0 \in K$ . Si $x,y \in W$ entonces se pueden escribir como $x = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n$ y $y = \beta_1 v_1 + \cdots + \beta_n v_n$ para escalares $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in K$ y $\beta_1,\ldots,\beta_n \in K$ respectivamente. Obsérvese que $x + y = (\alpha_1 + \beta_1)v_1 + \cdots + (\alpha_n + \beta_n)v_n$ que es una combinación lineal de los vectores $v_1, \ldots, v_n$ y escalares $\alpha_1 + \beta_1, \ldots, \alpha_n + \beta_n \in K$ . Por lo tanto, $x + y \in W$ . De forma similar, se puede demostrar que si $x \in W$ entonces $cx \in W$ où $c \in K$ . Cuando hayas hecho esto, puedes concluir que $W = \text{span}(\{v_1,\ldots,v_n\})$ es un subespacio de $V$ .

Espero que le sirva de ayuda.

Answer 2

Lo ha hecho bien, aunque ha cometido algunos errores en su argumentación/presentación. Un descuido es la omisión de señalar explícitamente que el vector cero está en $\operatorname{Span}\{v_i, \ldots, v_n\}$ .

En efecto, dado un espacio vectorial $V$ sobre un campo $K,$ la extensión de un conjunto $S$ de vectores se define como la intersección de todos los subespacios de $V$ que contienen $S$ y esta intersección se denomina subespacio abarcado por $S$ o por los vectores en $S$ . Alternativamente, podemos definir el tramo de $S$ como el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de $S$ .

$$\operatorname{span}(S) = \left \{ {\sum_{i=1}^k \lambda_i v_i \mid k \in \mathbb{N}, v_i \in S, \lambda _i \in \bf{K}} \right \}.$$

Y como (casi) demuestras, esta combinación lineal de todas las $v_i$ forma un subespacio de $V$ . (Se puede utilizar el cero del campo como escalar en la combinación lineal de todos los $v_i$ para obtener el vector cero, que deben contener todos los subespacios).