Estoy leyendo la definición de subgrupo característico, pero me pregunto cómo podemos saber que todo automorfismo de $G$ mapearía $H \le G $ a sí misma?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?¡Responderé a la pregunta como es debido! Como dije en mi comentario, hay esencialmente dos maneras de hacerlo. La más sencilla consiste en utilizar resultados conocidos que determinados subgrupos, como $Z(G)$ (y también todos los miembros de la serie central superior de $G$ ), $[G,G]$ (y también todos los miembros de la serie derivada y de la serie central inferior de $G$ ), y $O_p(G)$ (la mayor normal $p$ -subgrupo para un primo $p$ que se generaliza a conjuntos de primos) son todas características.
También puede utilizarlas combinadas entre sí, recordando que los subgrupos característicos de subgrupos característicos (tales como $Z([G,G])$ ) son característicos, al igual que los productos de subgrupos característicos, tales como $Z(G)O_p(G)$ .
Se puede utilizar una variante de este método si $N$ es el único subgrupo normal de $G$ con una determinada propiedad, así por ejemplo el subgrupo cíclico de índice $2$ en un grupo diedro de orden al menos $6$ es el único subgrupo de este tipo, por lo que debe ser característico.
El segundo método consiste en calcular ${\rm Aut}(G)$ (posiblemente utilizando un programa informático como GAP) y compruebe directamente que $\alpha(N) = N$ para todos $\alpha \in {\rm Aut}(G)$ y para ello basta con comprobarlo para todos los $\alpha$ en un generatong conjunto de ${\rm Aut}(G)$ . Dado que todos los subgrupos característicos son normales, por supuesto sólo debe hacer esto para los subgrupos normales.