La comprensión de Cálculo de la Notación en la Física

Question

Acabo de empezar en el primer año de cálculo basado en la física curso sobre el electromagnetismo y ondas. Estoy teniendo problemas para entender lo que el cálculo de la notación significa, en el contexto de la física. Aquí es un breve ejemplo de los Fundamentos de la Física 9ª ed. por Halliday et al. que considera a encontrar el campo eléctrico en el punto P (consulte la figura siguiente):

Deje $ds$ ser la longitud del arco de cualquier "diferencial" de los elementos del anillo. $dq=\lambda~ds$ es el total de la carga del anillo, donde $\lambda$ es lineal de la densidad de carga. La magnitud del campo está dada por

$$dE=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{r^2}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\lambda~ds}{r^2}$$

Desde el x-componentes del campo están en equilibrio en el punto P, después de la aplicación de la geometría, la ecuación se convierte en

$$dE\cos{\theta}=\frac{z\lambda}{4\pi\epsilon_0 (z^2+R^2)^{3/2}}ds$$

A continuación, el autor pone un signo integral en frente de ambos lados y se integra alrededor de la circunferencia del anillo: $$E=\int dE~\cos{\theta} = \frac{z\lambda}{4\pi\epsilon_0 (z^2+R^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi R}ds =\frac{z\lambda(2\pi R)}{4\pi\epsilon_0 (z^2+R^2)^{3/2}}$$

En matemáticas, me enseñaron que la notación de Leibniz ($dy/dx$) no es una fracción. Después de un poco de investigación, me encontré con que a veces actúa como una fracción, aunque no de una fracción cuando se define con límites. Sin embargo, ¿qué debo pensar cuando veo a $dq$, $ds$, y $dE$? ¿Qué significa "diferencial" significa, como se utiliza en el texto anterior? Hasta ahora se ha tenido sentido para mí pensar de $dq$ "infinitesimal" de carga (por ejemplo), aunque me enseñaron cálculo utilizando los límites (sé muy poco acerca de infinitesimals).

En segundo lugar, la forma en que la integral se toma parece informal y me confunde. Entiendo que representa la suma de la intensidad de campo eléctrico causado por toda la carga de todo el anillo, pero, ¿cómo puede usted acaba de poner un signo integral en frente de ambos lados y tomar la integral con respecto a lo $dE$ o $ds$ que pasa a estar allí? También, la integral en el lado izquierdo es de carácter indefinido, mientras que el de la derecha es definitivo. ¿Cómo debo ver este tipo de material?

Yo estoy seguro de si esta pregunta pertenece a la matemática de intercambio de la pila o esta otra.

Answer 1

Para responder a su pregunta acerca de cómo entender los diferenciales yo sería esencialmente reiterar mi respuesta en http://physics.stackexchange.com/a/92931/12029

(Estoy asumiendo que lidiar con los escalares aquí. Suponga $E=\hat{n}\cdot \vec{E}$ $C=\hat{n}\cdot \vec{C}$ para algunos de dirección $\hat{n}$)

La integración es una historia aparte, y creo que es útil para volver a los primeros principios. Las diferencias en este caso relacionar los cambios en la $E$ a los cambios en la $s$. Supongamos $dE=f(s) ds$. En la integración de ambos lados, la cosa real que le interesa es encontrar el total de cambios de aproximaciones lineales de cambios (diferenciales). Así, al integrar ambos lados, realmente estás sólo en la búsqueda de $\Delta E$, el cambio total en $E$ de todas las contribuciones de cualquier dominio que integran $f(s)$ más. Por lo tanto, si usted tenía un campo eléctrico externo $C$ en el punto en el que estás interesado (es decir, un campo que está presente cuando todos los otros cargos que usted está interesado en no lo son), el mismo cálculo que has hecho todavía podría justificar la escritura $E=C+\Delta E$.

Como para escribir $\int dE=\int_\text{A}^\text{B} f(s)ds$, donde uno integral tiene límites y uno no piensa en el cambio de las variables en los límites. Si usted sustituir una variable de integración, por ejemplo, la u de sustitución, también es necesario cambiar los límites de integración. Por lo tanto, si $\Delta E=\int dE$, lo que significa, básicamente, la integral fue tomada $\int_{E_0}^{E_0+\Delta E} dE$, lo cual es clara y rigurosamente evalúa a $\Delta E$. Así que creo que podría decirse que el autor dejó fuera de los límites de integración a fin de no confundir al lector. Si uno establece la cantidad necesaria de fondo de la maquinaria, se puede frase esto como un cambio formal de variables en la integral (y sería un buen ejercicio para hacerlo). Sin embargo, usted no debe tener dificultad con la solución del problema cuando se interpreta como el límite de una suma de Riemann.