Intento demostrar la regla de la cadena. ¿Podríais verificar si mi prueba está bien o contiene lagunas/errores lógicos? Muchas gracias por su ayuda.
Sea $X$ sea un espacio métrico y $Y,G$ n Supongamos que $f: X \rightarrow Y$ es diferenciable en $x_{0}$ y $g: Y \rightarrow G$ es diferenciable en $y_{0}:=f\left(x_{0}\right)$ . Entonces $g \circ f: X \rightarrow G$ es diferenciable en $x_{0}$ y la derivada es gi $$\partial(g \circ f)\left(x_{0}\right) = \partial g\left(f\left(x_{0}\right)\right) \circ \partial f\left(x_{0}\right)$$
Mi intento:
Tenemos $f(x)=f\left(x_{0}\right) + \partial f\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+r(x)\left\|x-x_{0}\right\|$ para todos $x \in X$ y $g(y) = g\left(y_{0}\right)+\partial g\left(y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+s(y)\left\|y-y_{0}\right\|$ para $y \in Y$ . Aquí $r: X \rightarrow Y$ y $s: Y \rightarrow G$ son continuas en $x_{0}$ y $y_{0}$ respectivamente. Además, $r\left(x_{0}\right)=0$ y $s\left(y_{0}\right)=0$ .
Nuestro objetivo es encontrar una función $t:X \to G$ tal que $$(f \circ g)(x) = (f \circ g) \left(x_{0}\right) + \partial g\left(f\left(x_{0}\right)\right) \circ \partial f\left(x_{0}\right) \left(x-x_{0}\right)+t(x)\left\|x-x_{0}\right\|$$ para todos $x \in X$ y que $t$ es continua en $x_{0}$ y $t(x_0)=0$ . Sustituimos $y=f(x)$ y obtener
$$\begin{aligned} (f \circ g)(x) &= g\left(y_{0}\right)+\partial g\left(y_{0}\right)\left(f\left(x_{0}\right)+\partial f\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+r(x)\left\|x-x_{0}\right\|-y_{0}\right)\\ & \quad + s(y)\left\|y-y_{0}\right\|\\ &= g\left(y_{0}\right)+\partial g\left(y_{0}\right)\left(\partial f\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+r(x)\left\|x-x_{0}\right\|\right)\\ & \quad+ s(y)\left\|y-y_{0}\right\|\\ &= g\left(f(x_0)\right)+\partial g\left(f(x_0)\right) \circ \partial f\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right) \\ &\quad+\partial g\left(f(x_0)\right) \circ r(x)\left\|x-x_{0} \right\|+ s(y)\left\|y-y_{0}\right\| \end{aligned}$$
Igualar $$g\left(f(x_0)\right)+\partial g\left(f(x_0)\right) \circ \partial f\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right) + \partial g\left(f(x_0)\right) \circ r(x)\left\|x-x_{0} \right\|+ s(y)\left\|y-y_{0}\right\|$$ y $$(g \circ f) \left(x_{0}\right) + \partial g\left(f\left(x_{0}\right)\right) \circ \partial f\left(x_{0}\right) \left(x-x_{0}\right)+t(x)\left\|x-x_{0}\right\|$$ obtenemos
$$t(x) \|x-x_0\| = \partial g\left(f(x_0)\right) \circ r(x)\left\|x-x_{0} \right\|+ s(y)\left\|y-y_{0}\right\|$$ y en consecuencia $$\begin{aligned} t(x) &= \partial g\left(f(x_0)\right) \circ r(x) + s(y) \frac{\left\|y-y_{0}\right\|}{\left\|x-x_{0}\right\|}\\ &= \partial g\left(f(x_0)\right) \circ r(x) + s(f(x)) \left\| \frac{\partial f\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+r(x)\left\|x-x_{0}\right\|}{\|x-x_0\|} \right\| \\&= \partial g\left(f(x_0)\right) \circ r(x) + s(f(x)) \left\| \partial f\left(x_{0}\right) \frac{x-x_0}{\|x-x_0\|} +r(x) \right\|\end{aligned}$$ para todos $x \neq x_0$ . Definimos además $t(x_0)=0$ . Es fácil comprobar que $t$ satisface nuestro requisito. Por lo tanto $\partial(g \circ f)\left(x_{0}\right) = \partial g\left(f\left(x_{0}\right)\right) \circ \partial f\left(x_{0}\right)$ .
