entender la definición de $\infty$ -operad de objetos de módulo

Question

Sólo intento entender la siguiente definición:

La definición 3.3.3.8 en Álgebra Superior de J. Lurie define la $\infty$ -operad de $O$ -objetos del módulo, y dice lo siguiente:

Sea $O^\otimes$ sea un unital $\infty$ -operad y $C^\otimes \to O^\otimes$ una fibración de $\infty$ -operadas. Dejamos $Mod^O(C)^\otimes$ denotan el producto fibra $$\overline{Mod}^O(C)^\otimes \times_{^p Alg_{/O}(C)} (O^\otimes \times Alg_{/O}(C))$$

Mi pregunta es ¿qué aspecto tiene un objeto aquí?

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Este es mi intento aproximado de entender lo que está pasando: Primero un objeto de $\overline{Mod}^{O}(C)^\otimes$ consiste en los datos $(v, F)$ de un objeto $v \in O^\otimes$ y un functor $F:$ $ _{v}K_O \to C^\otimes$ (donde $_{v}K_O$ denotan aquellos mapas semi-inertes en $O^\otimes$ que comienzan en $v$ ) enviando un mapa semi-inerte $f:v \to y$ en $O^\otimes$ a un objeto $F(f$ ) de $C^\otimes_y$ tal que si $y \to z$ es inerte, entonces $F(f) \to F(v \to z)$ es inerte en $C^\otimes$ .

Así que mi suposición es que un objeto de $Mod^O(C)^\otimes$ es un par $(v, A)$ donde $v \in O^\otimes$ y $A \in Alg_{/O}(C)$ . O quizás sea algo como $(v, F, A, \theta)$ donde $\theta$ es una equivalencia entre $(v, F)$ y $(v, A)$ en $^p Alg_{/O}(C)$ . O quizá sea algo totalmente distinto.

¿Cuál es, intuitiva/filosóficamente, el papel de los morfismos semi-inertes, es decir, por qué tenemos que utilizarlos realmente para hacer esta definición?

Creo que entiendo cómo un objeto de aquí puede ser visto como una generalización de la noción clásica de un módulo sobre un álgebra. En el capítulo 4, cuando Lurie define el $\infty$ -operad $\mathcal{LM}^\otimes$ y define un $\infty$ -categoría $LMod(C)$ (para $C$ un monoidal $\infty$ -) de módulos de izquierda sobre la operada asociativa como $Alg_{\mathcal{LM}/\mathcal{Ass}}(C)$ y el ejemplo 4.2.1.18 muestra cómo pensar en un objeto de esta categoría como una generalización de la noción de módulo. Supongo que un análisis similar es válido para los objetos de $Mod^O(C)$ Por ejemplo $(v, A)$ , digamos $v\simeq (v_1, ..., v_n)$ donde el $v_i \in O$ entonces $A(v_1), ..., A(v_n)$ tienen varios mapas de multiplicaciones entre ellos, controlados por el operad $O$ . Si esto se explica más explícitamente en Álgebra Superior hágamelo saber.

Answer 1

Sé que esta pregunta es un poco antigua pero me la acabo de encontrar.

Aproximadamente, como dices, a partir de estos datos se obtiene un objeto $v$ de $O^\otimes$ y un álgebra $A$ de $Alg_{/O}(C)$ . Sin embargo, también se obtiene un acción de $A$ en algún objeto $M$ en $v$ . El papel de los morfismos semi-inertes es de "marcaje": un morfismo semi-inerte $v \to y$ en $O^\otimes$ marca alguna parte del objeto $y$ (la imagen de $v$ ) como reservado para un módulo parte, y la parte fuera de la imagen describe un álgebra parte. Así es como se expresa.

En lo que sigue, por comodidad voy a fingir que los objetos de $O^\otimes$ son literalmente $n$ -tuplas $(X_1,\dots,X_n)$ de objetos de la categoría subyacente $O$ y lo mismo para $C^\otimes$ de modo que los mapas inertes vienen dados por la proyección de factores off. Se puede decir lo siguiente sin esa suposición, pero podría oscurecer lo que está pasando.

Su objeto $v$ es entonces una tupla $(X_1,\dots,X_k)$ de objetos de $O$ . Su módulo $M$ será en realidad una tupla $(M_1, \dots, M_k)$ donde $M_i$ es un módulo que vive sobre la tupla 1-objeto $X_i$ . Así que para nuestros propósitos, es más simple mirar sólo el caso en que $v = X$ es un objeto de $O$ .

Hay un morfismo semi-inerte especial, la identidad $v \to v$ que se envía a un objeto $M$ en la fibra $C_X$ en $X$ . Para cualquier $w$ en $O$ existe también otro morfismo especial semi-inerte $v \to () \to w$ El conjunto describe objetos $A_Y$ en $C_Y$ para cualquier $Y \in O$ . Esos serán los objetos módulo y álgebra. Un morfismo general semi-inerte $v \to w$ es isomorfo a uno de la forma $(X) \to (Y_1, Y_2, \dots, Y_m, X)$ procedente de una secuencia de mapas $() \to (Y_i)$ en $O^\otimes$ o $(X) \to () \to (Y_1,\dots,Y_m)$ . Su functor $F$ los envía a $(A_{Y_1},\dots,A_{Y_m},M)$ y $(A_{Y_1},\dots,A_{Y_m})$ respectivamente por la suposición de que preserva morfismos inertes.

Ahora el resto de la estructura dice que esencialmente obtenemos mapas de espacios $$ Map_{O^\otimes}((Y_1,\dots,Y_m), Y) \to Map_{C^\otimes}((A_{Y_1},\dots,A_{Y_m}), A_Y) $$ en $A$ en un $O$ -y mapas $$ Map_{O^\otimes}((Y_1,\dots,Y_m,X), X) \to Map_{C^\otimes}((A_{Y_1},\dots,A_{Y_m},M), M) $$ que dan la acción de $A$ en $M$ . Estos satisfacen una restricción de asociatividad -- compatibilidad con la composición. (También se puede mezclar el orden de los términos, pero eso está encapsulado por la compatibilidad con una acción del grupo simétrico).

Si en lugar de tener $v = (X)$ tenías $v = (X_1,\dots,X_k)$ entonces tendrías un álgebra $A$ y un $k$ -pareja de $A$ -módulos.