Cómo demostrar que el conjunto de matrices cuadradas $R^{n \times n}$ es completa bajo la norma del operador $\|A\| = \sup\limits_{\|x\|\leq 1} \|Ax\|$

Question

Quiero demostrar que el conjunto de matrices cuadradas $R^{n \times n}$ es un álgebra de Banach con la propiedad $\|AB\| \leq \|A\|\|B\|$ .

Ya he demostrado que $R^{n \times n}$ es un espacio lineal y es un espacio normado con el operador norma $\|A\| = \sup\limits_{\|x\|\leq 1} \|Ax\|$ sólo queda demostrar que el espacio está completo.

Nunca he visto una serie de cauchy de matrices... ¿puede alguien indicarme cómo debo proceder a partir de aquí?

Answer 1

La idea es que en espacios vectoriales de dimensión finita, todas las normas son equivalentes. En particular, se puede encontrar $\alpha >0$ con $$\Vert A \Vert_\infty \le \alpha \Vert A \Vert$$ para todos $A \in \mathbb R^{n \times n}$ . En $$\Vert A \Vert_\infty = \sup\limits_{1 \le i,j \le n} \vert a_{i,j} \vert.$$ Y es fácil demostrar que $\mathbb R^{n \times n}$ es completa para la norma $\Vert \cdot \Vert_\infty$ .