No estoy seguro de que la etiqueta "matemáticas recreativas" sea apropiada, pero este problema surgió durante un seminario práctico de Putnam, así que quizá
El problema:
Digamos que un número entero positivo es alternando si al expresarlo en base 2, dos dígitos consecutivos cualesquiera son diferentes. El número de primos alternos, ¿es finito o infinito?
Decidí intentar este problema para el seminario de una semana, pero no llegué muy lejos. Lo mejor que tengo es:
Los números alternos son de la forma $0, 1, 10, 101, 1010, 10101,... (\text{base}~2)$ . De éstos, sólo debemos ocuparnos de los números alternos Impares, que son todos los números alternos terminados en $0$ . Por lo tanto, podemos escribirlos como una suma: $$\sum_{k=0}^n 2^{2k} = \sum_{j=0}^n 4^j.$$
Así pues, los números alternos Impares son precisamente los números cuyas representaciones en base $4$ consisten enteramente en $1$ 's: $1, 11, 111,... (\text{base}~4)$ . La pregunta ahora es: ¿existen infinitos primos que tengan esta forma en base $4$ ?
Hasta ahí llegué. El profesor que organizaba el seminario no sabía cuál era la solución. En realidad sospechaba que era un problema abierto y lo puso en la lista de problemas semanales porque sí.
¿Tiene alguna idea de por dónde podemos seguir?
