Calcular la integral doble sobre una región

Question

Calcular la integral doble de $f(x,y)$ sobre el triángulo indicado en la figura siguiente:

$f(x,y)= 18ye^x$

Intenté seguir $x$ límites de 0 a 4 e y de 0 a 3 pero no funcionó. Sé que tengo que tomar los límites y como valores x, pero no sabía cómo hacerlo.

Answer 1

Tomamos x e y uno a uno, primero fijamos x, luego comprobamos cuál sería el valor de y.

como dice el gráfico, cuando x es fija, y va de x/4 a 3x/4

por lo que la integral es

$$\int f(x,y)\,dx\,dy = \int_0^4\int_{x/4}^{3x/4}18ye^x\,dy\,dx$$

Answer 2

La región sombreada no es rectangular.

En primer lugar, debemos determinar el $y$ límites de la región. Se encuentran simplemente por la forma punto-pendiente o pendiente-intersección, el método matemático elemental para determinar las ecuaciones de las rectas. Entonces, observa que los límites de integración son $\frac{x}{4} \leq y \leq \frac{3x}{4}$ y $0 \leq x \leq 4$ . Entonces, escribimos

$$\int_0^{4}\int_{x/4}^{3x/4} 18ye^{x}\,dy\,dx$$

Por último, evalúe la $y$ -integral y luego, el $x$ -ya que los límites dependen de $x$ .

Otro enfoque consiste en determinar el $x$ límites, fijación $y$ . A continuación, construye dos integrales dobles ya que la $x$ dependen de tres funciones, a saber $x = \frac{4y}{3}$ , $x = 4y$ y $x = 3$ . Piensa cómo puedes obtener dos integrales dobles de la región.