Hallar el intervalo de convergencia para $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n4^n}$ .

Question

Estoy trabajando en este problema, pero no estoy muy seguro de mi respuesta. Me puede ayudar cómo hacer los pasos para encontrar el intervalo de convergencia?

Mi respuesta es $L = \left| \frac{x}{4} \right| < 1$ .

Answer 1

Una fórmula rápida para series de potencias:

Si $a_n=n^{b}\left(\frac{1}{a}\right)^n$ donde $a,b\in\mathbb{R}\wedge a\neq0$ tenemos $$\sum _{n=1}^{\infty }\:n^{b}\left(\frac{1}{a}\right)^n\left(x-c\right)^n\text{ which converges on }\left\{\begin{array}{l} (c-a,c+a),a\in\mathbb{R}\wedge b\ge0 \\ [c-a,c+a),a>0\wedge -1\le b<0 \\ (c-a,c+a],a<0\wedge -1\le b<0 \\ [c-a,c+a],a\in\mathbb{R}\wedge b<-1\end{array}\right.$$

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$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n4^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{-1}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n(x-0)^n$ que , $a=4>0\land b=-1<0$ converge en $[0-4,0+4)$ .

Answer 2

En la prueba de la proporción se evalúa $$ \lim_{n\to\infty} \left| \frac{(n+1)\text{th term}}{n\text{th term}} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{x^{n+1}/((n+1)4^{n+1}}{x^n/(n4^n)} \right| = \frac {|x|} 4. $$ Por tanto, la serie converge si $|x|/4<1$ y diverge si $|x|/4>1,$ por lo que converge si $-4<x<4$ y diverge si $x<-4$ o $x>4.$

Eso no dice lo que ocurre si $|x|/4=1,$ por lo tanto, si $x=4$ o $x=-4.$ Si $x=4$ la serie se convierte en $\sum_{n=1}^\infty 1/n,$ y que diverge a $+\infty.$ Si $x=-4$ entonces la serie se convierte en $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n/n,$ y que converge.

Por tanto, el intervalo de convergencia es $[-4,4).$