Hallar la ecuación de una elipse usando excentricidad y directriz con foco en (0,0)

Question

La elipse $\varepsilon$ tiene excentricidad $\frac{1}{2}$ , enfoque $(0,0)$ y la línea $x=-1$ como la directriz correspondiente. Hallar la ecuación de $\varepsilon$ . Hallar el otro foco y la directriz de $\varepsilon$ .

Estoy confundido por esto debido a que el foco está en $(0,0)$ . Por lo que yo sabía el centro de la elipse debe estar en $(0,0)$ de modo que los focos estén en $(c,0)$ y $(-c,0)$ donde $c^2=a^2-b^2$ . La directriz correspondiente al foco vendrá dada entonces por la ecuación $x=\frac{a^2}{c}$ y la excentricidad de la elipse es $\frac{c}{a}$ . ¿Existe otro conjunto de ecuaciones que pueda utilizar para determinar la ecuación de la elipse?

Answer 1

De su información:

\begin{align*} \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x+1} &= \varepsilon \\ x^2+y^2 &= \varepsilon^2(x+1)^2 \\ (1-\varepsilon^2)x^2-2\varepsilon^2 x+y^2 &= \varepsilon^2 \\ \left[ (1-\varepsilon^2)x^2-2\varepsilon^2 x+ \frac{\varepsilon^4}{1-\varepsilon^2} \right]+ y^2 &= \varepsilon^2+\frac{\varepsilon^4}{1-\varepsilon^2} \\ \frac{(1-\varepsilon^2)^2}{\varepsilon^2} \left( x-\frac{\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2} \right)^2+\frac{1-\varepsilon^2}{\varepsilon^2} y^2 &= 1 \\ a &= \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^2} \\ b &= \frac{\varepsilon}{\sqrt{1-\varepsilon^2}} \\ c &= \frac{\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2} \end{align*}

El otro foco de atención es $$(2c,0)= \left( \frac{2\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2},0 \right)$$

La otra directriz es $$x=2c+1$$ $$x=\frac{1+\varepsilon^2}{1-\varepsilon^2}$$