Evalúa este límite de funciones trigonométricas inversas y radicales sin l'Hospital

Question

¿Cómo puedo resolverlo utilizando sólo trucos algebraicos "sencillos" y equivalencias asintóticas? No l'Hospital.

$$\lim_{x \rightarrow0} \frac {\sqrt[3]{1+\arctan{3x}} - \sqrt[3]{1-\arcsin{3x}}} {\sqrt{1-\arctan{2x}} - \sqrt{1+\arcsin{2x}}} $$

Racionalizando el numerador y el denominador se obtiene

$$ \lim_{x \rightarrow0} \frac {A(\arctan{3x}+\arcsin{3x})} {B(\arctan{2x} + \arcsin{2x})} $$ donde $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{A}{B} = -\frac{2}{3} $

Answer 1

SUGERENCIA:

Racionalizar el D & N utilizando $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$

A continuación, utilice $\lim_{u\to0}\dfrac{\arctan u}u=\lim_{y\to0}\dfrac y{\tan y}=1$ ajuste $\arctan u =y$

Del mismo modo para $\arcsin$

Answer 2

Utilizaremos los siguientes límites estándar $$\lim_{x \to 0}\frac{\arctan x}{x} = 1 = \lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x},\,\lim_{x \to a}\frac{x^{n} - a^{n}}{x - a} = na^{n - 1}\tag{1}$$ Tenemos \begin{align} L &= \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{1 + \arctan 3x} - \sqrt[3]{1 - \arcsin 3x}} {\sqrt{1 - \arctan 2x} - \sqrt{1 + \arcsin 2x}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{\sqrt[3]{1 + \arctan 3x}}{x} - \dfrac{\sqrt[3]{1 - \arcsin 3x}}{x}} {\dfrac{\sqrt{1 - \arctan 2x}}{x} - \dfrac{\sqrt{1 + \arcsin 2x}}{x}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt[3]{1 + \arctan 3x} - 1}{x}\right) - \left(\dfrac{\sqrt[3]{1 - \arcsin 3x} - 1}{x}\right)} {\left(\dfrac{\sqrt{1 - \arctan 2x} - 1}{x}\right) - \left(\dfrac{\sqrt{1 + \arcsin 2x} - 1}{x}\right)}\notag\\ &= \frac{A - B}{C - D}\notag \end{align} El límite de cada una de las 4 expresiones entre corchetes puede evaluarse fácilmente. Estos límites los he denotado por $A, B, C, D$ respectivamente. Ilustraré la evaluación completa de la primera expresión. Tenemos \begin{align} A &= \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{1 + \arctan 3x} - 1}{x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{1 + \arctan 3x} - 1}{\arctan 3x}\cdot\frac{\arctan 3x}{3x}\cdot 3\notag\\ &= 3 \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[3]{1 + \arctan 3x} - 1}{\arctan 3x}\notag\\ &= 3 \lim_{t \to 1}\frac{t^{1/3} - 1}{t - 1}\text{ (putting }t = 1 + \arctan 3x)\notag\\ &= 3\cdot\frac{1}{3}\notag\\ &= 1\notag \end{align} Del mismo modo $B = -1, C = -1, D = 1$ y, por tanto, el límite deseado $L = (A - B)/(C - D) = -1$ .

La racionalización de expresiones en las que intervienen radicales tiene sentido sobre todo si se trata de raíces cuadradas. En los casos en que tenemos raíces cúbicas (y raíces superiores) es difícil escribir/escribir las expresiones largas (obtenidas durante el proceso de racionalización) y es mejor hacer uso de la fórmula límite estándar $\lim\limits_{x \to a}\dfrac{x^{n} - a^{n}}{x - a} = na^{n - 1}$ .