una pregunta sobre el análisis de regresión ; propiedad de la matriz Hat

Question

Sea 1 el primer vector columna de la matriz de diseño X. Demuestre que H1=1 para el caso de regresión lineal múltiple(p-1>1). (H es la matriz sombrero, es decir, H=X(X'X)^-1X')

Los siguientes son mis razonamientos hasta ahora.

Sea H=[r1 r2 .. rn]', donde rn es un vector fila de H.

Entonces r1*1=1(scalr). (* producto interno)

¿por qué r1*1 debe ser 1?

Creo que demostrar que H1=H es lo mismo que responder a la pregunta anterior.

Pero no puedo empujar la cosa más allá.

¿Qué propiedad de H debo utilizar?

Sé que H es idempotente y simétrica.

¿Tengo que utilizar alguna otra propiedad que no conozca?

Answer 1

$$H_{n\times k}= X\left(X'X\right)^{-1}X' \Rightarrow X'H = X'$$

La primera fila de $X'$ es una fila de unos, por lo que $\left[X'\right]_{1j}=1$ . Denotemos $h_{ij}$ el elemento típico de $H$ el elemento típico de la primera fila de $X'H$ es

$$\left[X'H\right]_{1j} = \sum_{i=1}^n h_{ij} = \left[X'\right]_{1j}= 1 \;\;\forall j$$

Pero $\left[X'H\right]_{1j}$ es la suma de los elementos del $j$ columna de $H$ es decir, es el producto interior de esta columna con el vector de unos. Y esto vale para todas las columnas de $H$ . $QED$ .

Answer 2

Creo que si escribimos $H \mathbf{1}=\mathbf{b}$ y premultiplicar ambos lados por $X'$ obtenemos $X'\mathbf{1}=X'\mathbf{b}=\mathbf{c}$ donde $\mathbf{c}$ es un vector.

$X'\mathbf{b}=\mathbf{c}$ tiene solución única si $X$ tiene rango completo. Pero debemos tener rango completo de $X$ incluso hacer inversa de $X'X$ . Así que $\mathbf{b}=\mathbf{1}$ .