diferencias entre funciones convexas

Question

Sea S el conjunto de funciones de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}$ que puede expresarse como una diferencia entre dos funciones convexas. Está claro que S es cerrado bajo suma y diferencia, pero sospecho que también lo es bajo producto, integración (para funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ ), inversión (para funciones invertibles de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ ) y recíproco (para funciones no nulas). Específicamente me gustaría mostrar cada uno de estos:

Sea $f,g \in S$ entonces
(1) $f*g \in S$
(2) si $n=1$ entonces $h(t) = \int_{0}^{t} f(x)dx \in S$
(3) si $f^{-1}$ existe entonces $f^{-1}\in S$
(4) si $\forall x, f(x)\neq 0$ entonces $1/f \in S$

Sin embargo, a diferencia del caso de la suma, esto no es tan fácil y no estoy seguro de cómo. Además, no estoy seguro de que todas ellas sean ciertas.

Más ampliamente
Me gustaría saber si existe un nombre para este espacio de funciones o si es equivalente a algún otro espacio. ¿Cuáles son las propiedades de este espacio de funciones? etc.

Answer 1

En algunas literaturas, la diferencia de dos funciones convexas se denomina Función CC . Y también se llama funciones delta-convexas .

OP puede encontrar las dos primeras propiedades en este documento . El producto y la integración puede remitirse a la Proposición 2.1. El recíproco puede encontrarse en el Corolario de este documento ya que la función constante es también función CC.

Para la inversa de $h$ si $h(x) = f(x) - g(x)$ donde $f, g$ es una función convexa, entonces \begin{equation} h^{-1}(y) = f^{-1}(t), \quad f^{-1}(t) = g^{-1}(t-y). \end{equation} En $g^{-1}$ es la inversa de la función convexa, que debe ser cóncava o convexa, por tanto $h^{-1}$ también es una función CC. Aquí necesitamos $f,g,h$ son todas invertibles.