Podemos concluir que este grupo es cíclico?

Question

Deje $G$ ser un grupo finito. Si, para cada entero positivo $m$, el número de soluciones de la ecuación de $x^m = e$ $G$ donde $e$ es el elemento de identidad, es en la mayoría de las $m$, entonces podemos concluir que el $G$ es cíclico?

Answer 1

Deje $|G| = n$$m \mid n$. Definir $G_m = \{g \in G : |g| = m\}$.

Supongamos $G_m$ no está vacío y deje $g \in G_m$. Por supuesto, $x^m = e$ tiene más de $m$ soluciones en $G$. Puesto que cada elemento de a $\langle g \rangle$ es una solución, no puede ser más. De esos, se $\varphi(m)$ elementos con el fin de exactamente $m$. Este es un resultado básico en grupos cíclicos, donde $\varphi$ es de Euler totient función.

De ello se desprende que $|G_m| = \varphi(m)$ si $G_m$ no está vacío. Si $G_m$ está vacía, entonces $|G_m| = 0$. En general, $|G_m| \le \varphi(m)$.

Ahora tenemos: $$n = |G| = \sum_{m \mediados n} |G_m| \le \sum_{m \mediados n}\varphi(m) = n$$

Por lo tanto, la desigualdad es en realidad una igualdad. Esto demuestra que $|G_n| = \varphi(n) > 0$. Por lo tanto $G$ es cíclico, ya que contiene un elemento de orden $n$.

Answer 2

Breve nota. Si $G$ $p$- grupo, el resultado es true. De hecho, si $|G|=p^k$, entonces si $G$ no es cíclica, se sigue que cada elemento de a $G$ hemos

$$x^{p^{k-1}}=e \,.$$

Por lo tanto esto se contradice con la declaración de con $m=p^{k-1}$.

Ahora, para abelian grupos, por lo que la estructura Teorema, el grupo es un producto de $p$ grupos. Utilice el resultado anterior para cada una de las $p$ grupos, y listo.

En la no-abelian caso, el resultado anterior muestra que todas las $p$-Syllow subgrupos cíclicos. Por otra parte, $G$ sólo puede tener un $p$-syllow subgrupo, de lo contrario, usted obtiene más de $p^k$ soluciones a $x^{p^k}=e$.

Así el problema se reduce a la simple siguiente problema (que debería ser obvio, pero no es para mí). Si para cada $p$, $G$ tiene una única $p$ Syllow subgrupo cíclico, es $G$ (abelian) cíclico?