Demostrar que todas las matrices nxn nilpotentes de orden n son semejantes.

Question

Tengo que demostrar que todos $n \times n$ matrices nilpotentes de orden n son similares. Mi planteamiento inicial fue demostrar que para todas las matrices nilpotentes su polinomio característico mínimo es de la forma: $$\lambda^n$$

¿Es suficiente?

¿Puede alguien mostrarme un enfoque formal de este problema?

Gracias.

Answer 1

Ejemplos de matrices nilpotentes del mismo orden que no son similares

$$ A=\begin{pmatrix} 0 & & & \\ & 0 & & \\ & & 0 & 1 \\ & & & 0 \end{pmatrix}, \ \ B=\begin{pmatrix}0 & 1& & \\ & 0 & & \\ & & 0 & 1 \\ & & & 0 \end{pmatrix}. $$ Ambos tienen $$ A\neq 0, \ B\neq 0 , \ A^2 = B^2 = 0. $$ Sin embargo, estas matrices $A$ y $B$ no son similares.

Prueba de que el nilpotente $n\times n$ matrices de orden $n$ son similares

Para nilpotente $n\times n$ matriz de orden $n$ sólo hay una forma de Jordan posible. Como es nilpotente, sólo tiene $0$ como valor propio. Como es nilpotente de orden $n$ debe ser similar al siguiente bloque Jordan: $$ J(0, n) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \cdots & \\ & 0 & 1 & \cdots & \\ &\cdots & \\ & & \cdots & 0 & 1 \\ & & \cdots & & 0 \end{pmatrix}. $$ Si la matriz tiene valores propios todos ceros, y no tiene forma de Jordan como la anterior, el orden de nilpotencia es menor que $n$ .