Ejemplos de matrices nilpotentes del mismo orden que no son similares
$$ A=\begin{pmatrix} 0 & & & \\ & 0 & & \\ & & 0 & 1 \\ & & & 0 \end{pmatrix}, \ \ B=\begin{pmatrix}0 & 1& & \\ & 0 & & \\ & & 0 & 1 \\ & & & 0 \end{pmatrix}. $$ Ambos tienen $$ A\neq 0, \ B\neq 0 , \ A^2 = B^2 = 0. $$ Sin embargo, estas matrices $A$ y $B$ no son similares.
Prueba de que el nilpotente $n\times n$ matrices de orden $n$ son similares
Para nilpotente $n\times n$ matriz de orden $n$ sólo hay una forma de Jordan posible. Como es nilpotente, sólo tiene $0$ como valor propio. Como es nilpotente de orden $n$ debe ser similar al siguiente bloque Jordan: $$ J(0, n) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \cdots & \\ & 0 & 1 & \cdots & \\ &\cdots & \\ & & \cdots & 0 & 1 \\ & & \cdots & & 0 \end{pmatrix}. $$ Si la matriz tiene valores propios todos ceros, y no tiene forma de Jordan como la anterior, el orden de nilpotencia es menor que $n$ .